Lektion 2 av 5

Tangens

Målet med lektionen

Använda förhållandet mellan motstående och närliggande katet.

5 avsnittCirka 2 min läsning2 exempel

Tangens jämför kateterna

Förklaring

Använd tangens när de två sidor du arbetar med är motstående och närliggande katet. Tangens för vinkeln v är den motstående kateten dividerad med den närliggande.

\tan v=\frac{\text{motstående katet}}{\text{närliggande katet}}

I 6–8–10-triangeln, för vinkeln i det vänstra hörnet, är $\tan v=\frac68=0{,}75$ . Tangens är en kvot, inte en sidlängd eller en vinkel.

Hur hög är stolpen?

Exempel

En lodrät stolpe står på vågrät mark. Från en punkt på marken 12,0 m från stolpens fot är vinkeln upp till toppen 35°. Modellen använder markpunkten som vinkelns hörn. Stolpens höjd x är motstående katet; avståndet 12,0 m är närliggande katet.

\tan35^\circ=\frac{x}{12{,}0\,\text{m}}

Multiplicera båda leden med 12,0 m för att få x ensamt. Använd gradläge (DEG) på räknaren och avrunda först slutsvaret till en decimal.

x=12{,}0\,\text{m}\cdot\tan35^\circ\approx8{,}4\,\text{m}

Stolpen är ungefär 8,4 m hög. Det är rimligt att höjden är mindre än markavståndet, eftersom vinkeln är mindre än 45°. Om vinkeln i stället mäts från ögonhöjd behöver ögonhöjden räknas med i modellen.

Kontrollera vilken katet som är vilken

Förklaring

Markera först den vinkel uppgiften anger. Sätt sedan namn på kateterna.
Använd inte hypotenusan i tangenskvoten.
Tangens kan vara större än 1. Då är motstående katet längre än närliggande katet.

Lika långa kateter ger en känd vinkel

Förklaring

Om kateterna är lika långa är de två spetsiga vinklarna lika stora. Tillsammans är de $90^\circ$ , så var och en är $45^\circ$ .

\tan45^\circ=\frac{\text{motstående}}{\text{närliggande}}=1

För mindre vinklar är motstående katet kortare och tangens mindre än 1. För större spetsiga vinklar är tangens större än 1. Det hjälper dig att bedöma ett svar.

Din tur: en vajer över marken

Exempel

En spänd vajer går från marken till toppen av en lodrät stolpe och bildar vinkeln 30° med vågrät mark. Det vågräta avståndet är 10,0 m. Vilken kvot kan ge höjden h utan att du känner vajerns längd?

\tan30^\circ=\frac{h}{10{,}0\,\text{m}}\quad\Rightarrow\quad h=10{,}0\,\text{m}\cdot\tan30^\circ\approx5{,}8\,\text{m}

Svar: tangens använder de två kateterna. Höjden är ungefär 5,8 m, avrundad till en decimal. Vajern är hypotenusan och behövs inte i beräkningen. Höjden är mindre än 10,0 m, som väntat för en vinkel mindre än 45°.

Testa dig själv

Vilken vinkel och vilken kvot?

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

För en spetsig vinkel v i en rätvinklig triangel är motstående katet 8 cm, närliggande katet 6 cm och hypotenusan 10 cm. Vad är tangens för v?

\displaystyle \tan v=\frac{8}{10}=0{,}8

\displaystyle \tan v=\frac{6}{8}=0{,}75

\displaystyle \tan v=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…