Lektion 4 av 5

Välj kvot och beräkna en sida

Målet med lektionen

Lösa även när den okända sidan står i nämnaren.

6 avsnittCirka 2 min läsning4 exempel

Låt de två sidorna bestämma kvoten

Förklaring

Rita eller läs triangeln och kontrollera att den är rätvinklig.
Markera den givna spetsiga vinkeln och namnge sidorna relativt den.
Identifiera den kända sidan och den sökta sidan. Motstående + hypotenusa ger sinus; närliggande + hypotenusa ger cosinus; båda kateterna ger tangens.
Skriv sambandet med den okända sidan som en bokstav. Lös ut bokstaven innan du avrundar.
Kontrollera enhet och rimlighet.

När den sökta sidan står i täljaren

Exempel

En rätvinklig triangel har hypotenusan 12,0 cm och vinkeln 40°. Sök närliggande katet x. Närliggande katet och hypotenusa ger cosinus.

\cos40^\circ=\frac{x}{12{,}0\,\text{cm}}

Multiplicera båda leden med nämnaren 12,0 cm. Då får du x ensamt:

x=12{,}0\,\text{cm}\cdot\cos40^\circ\approx9{,}2\,\text{cm}

Svaret avrundas till en decimal och är kortare än hypotenusan. Titta alltid på var den okända sidan står: i nästa exempel står den i nämnaren.

När hypotenusan är okänd

Exempel

Vinkeln är 30° och motstående katet är 4,0 cm. Bestäm hypotenusan h. De två sidorna ger sinus.

\sin30^\circ=\frac{4{,}0\,\text{cm}}{h}

Multiplicera först båda leden med h. Dividera sedan båda leden med $\sin30^\circ$ , som inte är noll.

h\sin30^\circ=4{,}0\,\text{cm}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{4{,}0\,\text{cm}}{\sin30^\circ}=8{,}0\,\text{cm}

Hypotenusan är 8,0 cm. Att i stället multiplicera 4,0 med sin 30° skulle ge 2,0 cm, vilket är omöjligt eftersom hypotenusan då vore kortare än kateten.

När närliggande katet är okänd

Exempel

En vinkel är 40° och motstående katet är 7,0 cm. Bestäm närliggande katet b.

\tan40^\circ=\frac{7{,}0\,\text{cm}}{b}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{7{,}0\,\text{cm}}{\tan40^\circ}\approx8{,}3\,\text{cm}

Den närliggande kateten blir längre än den motstående. Det stämmer med att vinkeln 40° är mindre än 45°. Samma algebraiska metod fungerar som i exemplet ovan.

När passar Pythagoras?

Förklaring

Om två sidlängder är kända och den tredje söks kan Pythagoras sats användas direkt. Trigonometri kopplar i stället ihop en spetsig vinkel med ett förhållande mellan två sidor. Välj metod utifrån vilka uppgifter du har.

En enda sida räcker inte utan ytterligare information. Enbart vinklarna räcker inte heller för att bestämma längder: likformiga trianglar kan vara olika stora.

Din tur: får hypotenusan bli kortare?

Exempel

Närliggande katet är 3,0 m och vinkeln är 60°. En elev räknar hypotenusan som $3{,}0\,\text{m}\cdot\cos60^\circ=1{,}5\,\text{m}$ . Vad gick fel?

Svar: den okända hypotenusan h står i nämnaren. Skriv kvoten innan du väljer räknesätt:

\cos60^\circ=\frac{3{,}0\,\text{m}}h\quad\Rightarrow\quad h=\frac{3{,}0\,\text{m}}{\cos60^\circ}=6{,}0\,\text{m}

Hypotenusan är 6,0 m. Elevens svar kunde avvisas direkt, eftersom en hypotenusa aldrig är kortare än en katet.

Testa dig själv

Vilken vinkel och vilken kvot?

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

En rätvinklig triangel har hypotenusan 12,0 cm och en spetsig vinkel på $40^\circ$ . Motstående katet är x. Vilken beräkning ger x? Använd DEG-läge och avrunda till en decimal.

\displaystyle x=12{,}0\cos40^\circ\approx9{,}2\,\text{cm}

\displaystyle x=12{,}0\sin40^\circ\approx7{,}7\,\text{cm}

\displaystyle x=\frac{12{,}0}{\sin40^\circ}\approx18{,}7\,\text{cm}

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…

Låt de två sidorna bestämma kvoten

När den sökta sidan står i täljaren

När hypotenusan är okänd

När närliggande katet är okänd

När passar Pythagoras?

Din tur: får hypotenusan bli kortare?

Vilken vinkel och vilken kvot?

En rätvinklig triangel har hypotenusan 12,0 cm och en spetsig vinkel på 40∘40^\circ40∘. Motstående katet är x. Vilken beräkning ger x? Använd DEG-läge och avrunda till en decimal.

Vilken vinkel och vilken kvot?

En rätvinklig triangel har hypotenusan 12,0 cm och en spetsig vinkel på 40∘40^\circ40∘. Motstående katet är x. Vilken beräkning ger x? Använd DEG-läge och avrunda till en decimal.

En rätvinklig triangel har hypotenusan 12,0 cm och en spetsig vinkel på $40^\circ$ . Motstående katet är x. Vilken beräkning ger x? Använd DEG-läge och avrunda till en decimal.

En rätvinklig triangel har hypotenusan 12,0 cm och en spetsig vinkel på $40^\circ$ . Motstående katet är x. Vilken beräkning ger x? Använd DEG-läge och avrunda till en decimal.