Lektion 3 av 5

Sinus och cosinus

Målet med lektionen

Välja en kvot där hypotenusan ingår.

5 avsnittCirka 2 min läsning2 exempel1 lekplats

När hypotenusan ingår

Förklaring

Sinus jämför motstående katet med hypotenusan. Cosinus jämför närliggande katet med hypotenusan. Hypotenusan står i nämnaren i båda kvoterna.

\sin v=\frac{\text{motstående}}{\text{hypotenusa}},\qquad \cos v=\frac{\text{närliggande}}{\text{hypotenusa}}

För en spetsig vinkel ligger både sinus och cosinus mellan 0 och 1, eftersom en katet är kortare än hypotenusan.

En stege mot en vägg

Exempel

En 5,0 m lång stege bildar vinkeln 60° med vågrät mark mot en lodrät vägg. Stegen är hypotenusan. Höjden y längs väggen är motstående katet, och avståndet x från väggen längs marken är närliggande katet.

\sin60^\circ=\frac{y}{5{,}0\,\text{m}}\quad\Rightarrow\quad y=5{,}0\,\text{m}\cdot\sin60^\circ\approx4{,}3\,\text{m}

\cos60^\circ=\frac{x}{5{,}0\,\text{m}}\quad\Rightarrow\quad x=5{,}0\,\text{m}\cdot\cos60^\circ=2{,}5\,\text{m}

Båda kateterna är kortare än stegen, och den större spetsiga vinkeln står mitt emot den längre kateten.

Undersök vad som ändras

Förklaring

Behåll först vinkeln och dubbla hypotenusan. Jämför sidlängderna och de tre kvoterna. Ändra sedan vinkeln. Välj sinus, cosinus eller tangens för att markera vilka sidor som jämförs.

Skriv en förutsägelse innan du drar: dubbleras kvoterna när hypotenusan dubbleras? Håll sedan hypotenusan fast när du ändrar vinkeln, så undersöker du en sak i taget.

Utforska rätvinkliga trianglar

Ändra vinkeln eller storleken. Se vilka sidor som är motstående, närliggande och hypotenusa.

Vinkeln θ är vid vänstra hörnet. Bilden anpassas till ytan; sidlängderna visar storleken.

Vinkel θ (grader)

5–85 grader

Storlek: hypotenusan h

1–20 längdenheter

a Motstående katet: ≈ 5,736
b Närliggande katet: ≈ 8,192
h Hypotenusa: = 10

Längder anges i samma enhet. ≈ betyder ungefär lika med. Beräkningarna använder värden före avrundning.

Markera sidorna i en kvot

Täljare: motstående katetNämnare: hypotenusa

Sidornas kvoter vid 35°
Kvot	Sidor	Värde
sin(35°)	a / h≈ 5,736 / 10	≈ 0,574
cos(35°)	b / h≈ 8,192 / 10	≈ 0,819
tan(35°)	a / b≈ 5,736 / 8,192	≈ 0,7

Behåll vinkeln och ändra storleken. Sidorna ändras, men kvoterna är desamma. Ändra sedan vinkeln och jämför.

Laddar aktiviteten…

Sätt ord på sambandet

Förklaring

När bara storleken ändras multipliceras alla sidor med samma faktor och kvoterna bevaras. När den spetsiga vinkeln ökar växer sinus och tangens medan cosinus minskar. Med samma hypotenusa blir den motstående kateten längre och den närliggande kortare.

Din tur: vilken katet hör till sinus?

Exempel

En rätvinklig triangel har hypotenusan 10 cm och en spetsig vinkel på 30°. Bestäm kateten a mitt emot vinkeln och kateten b intill vinkeln. Välj kvot för varje sida först.

a=10\,\text{cm}\cdot\sin30^\circ=5\,\text{cm}

b=10\,\text{cm}\cdot\cos30^\circ\approx8{,}7\,\text{cm}

Sinus ger motstående katet, cosinus ger närliggande katet. Om du byter funktionerna får du längderna på fel sidor. Båda kateterna ska vara kortare än hypotenusan.

Testa dig själv

Vilken vinkel och vilken kvot?

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

I en rätvinklig triangel är motstående katet 6 cm, närliggande katet 8 cm och hypotenusan 10 cm relativt vinkeln v. Vilket par stämmer?

\displaystyle \sin v=0{,}6

och

\displaystyle \cos v=0{,}8

\displaystyle \sin v=0{,}8

och

\displaystyle \cos v=0{,}6

\displaystyle \sin v=\frac{10}{6}

och

\displaystyle \cos v=\frac{10}{8}

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…