Bevara likheten

En påse och en vikt på 5 kg väger tillsammans 12 kg. Låt x vara påsens massa i kilogram. Sambandet kan skrivas som en ekvation:

Uttrycket till vänster om likhetstecknet kallas vänster led, VL. Till höger finns höger led, HL. Likhetstecknet säger att leden har samma värde.

En lösning är ett värde på x som gör likheten sann. Här fungerar $x=7$ eftersom $7+5=12$. Påsen väger alltså 7 kg.

I en linjär ekvation står den obekanta bara i första graden efter förenkling. Du möter till exempel x och 3x, men inte kvadraten av x eller x i en nämnare.

Tänk på ekvationen som en våg i balans. Tar du bort lika mycket från båda sidor finns balansen kvar. I påsexemplet subtraherar vi 5 från båda leden:

Dessa steg bevarar lösningarna. Symbolen $\Longleftrightarrow$ betyder att ekvationerna har samma lösningar.

Division med noll är inte tillåten. Multiplikation med noll tappar information: båda leden blir noll oavsett vilket värde x har.

Ta bort en etta från varje sida tills x står ensamt. Varför är lösningen densamma efter varje steg? Balansen visar bara hela, icke-negativa brickor. I vanliga ekvationer är även negativa tal och bråk tillåtna. En spärrad knapp betyder därför inte alltid att operationen är matematiskt förbjuden.

I vänster led multipliceras x först med 3 och sedan adderas 4. För att få x ensamt gör vi motsatta operationer i omvänd ordning.

Kontrollera i den första ekvationen. Med $x=5$ blir vänster led $3\cdot5+4=19$ och höger led är 19. Lösningen stämmer.

Talet framför x kallas koefficient. Här är koefficienten −4. Dividera båda leden med −4 för att få x ensamt:

Kontroll: $(-4)\cdot(-4{,}5)=18$. Ett negativt tal gånger ett negativt tal blir positivt.

Svaret behöver varken vara positivt eller ett heltal. Behåll gärna bråkformen under beräkningen så att du inte avrundar en exakt lösning.

Om du börjar med att dividera denna ekvation med 2 måste varje term i vänster led divideras:

Att skriva $x+6=7$ är fel: då har termen 6 inte dividerats. Ett bråkstreck under hela summan hjälper dig att komma ihåg alla termer.

Du kan också subtrahera 6 först och sedan dividera med 2. Olika tillåtna vägar ger samma lösning. Kontroll: $2\cdot4+6=14$.

Lös ekvationen själv först. Vilken operation tar bort −3? Vilken tar sedan bort divisionen med 4?

Förklaring: addera 3 i båda leden. Multiplicera sedan båda leden med 4.

Kontroll: $\frac{20}{4}-3=5-3=2$. Om du fick 5 har du hittat värdet på en fjärdedel av x, och behöver ett steg till.