Tillåtna värden

Definitionsmängden D är mängden tillåtna invärden. Värdemängden V är mängden utvärden som funktionen faktiskt ger för dessa invärden. Värdemängden beror alltså på både regeln och definitionsmängden.

Kvadrera vart och ett av de fem invärdena: resultaten är 4, 1, 0, 1 och 4. I mängden skriver vi varje möjligt värde en gång. Blanda inte ihop x-värdena i D med resultaten i V.

En anteckningsbok kostar 12 kr. Du kan köpa högst fyra böcker och betalar ingen extra avgift. Om n är antalet böcker blir kostnaden i kronor $K(n)=12n$.

Detta är diskreta värden: de möjliga antalen är åtskilda heltal. På grafen markerar du fem separata punkter. Dra ingen linje mellan dem, eftersom mellanliggande antal inte ingår i köpet.

Formeln går att räkna med även för $n=1{,}5$, men en och en halv bok är inte ett tillåtet köp här. Situationen begränsar definitionsmängden mer än själva formeln gör.

En behållare innehåller 12 liter vatten. I en modell rinner exakt 2 liter ut per minut tills behållaren är tom. Mängden vatten i liter efter t minuter är $M(t)=12-2t$ under tömningen.

Definitionsmängden är alla reella tider från 0 till 6 minuter. Värdemängden är alla vattenmängder från 0 till 12 liter. Här ingår också mellanvärden: $M(1{,}5)=12-2\cdot1{,}5=9$ liter.

Värdena är kontinuerliga, så grafen är ett sammanhängande linjestycke från $(0,12)$ till $(6,0)$. Vi använder inte tömningsformeln efter 6 minuter: den skulle ge en negativ vattenmängd.

Här kan x vara vilket reellt tal som helst utom noll, om situationen inte ger fler begränsningar. Division med noll är inte definierad. Negativa invärden fungerar däremot bra:

Värdemängden är också alla reella tal utom noll. Bråket kan aldrig bli noll, och varje annat utvärde y fås genom att välja $x=\frac1y$. Till exempel ger $x=\frac14$ utvärdet 4.

När vi arbetar med reella tal måste uttrycket under rottecknet vara minst noll. Kvadratroten betyder den icke-negativa roten: $\sqrt9=3$, inte både 3 och −3. Regeln ger alltså ett enda utvärde.

För h måste invärdet vara minst 3. $h(7)=\sqrt{7-3}=2$ fungerar, men $h(2)$ saknar reellt värde eftersom talet under roten skulle bli −1. Gränsen $x=3$ är tillåten och ger $h(3)=0$.

Funktionen $s(x)=\sqrt{x}$ får här bara användas för $0\le x\le9$. Ange värdemängden. Är 2,25 ett tillåtet invärde? Är −3 ett möjligt utvärde?

Kontroll: kvadratroten växer från 0 till 3 när x går från 0 till 9. Alla reella utvärden däremellan kan fås. Invärdet 2,25 ligger i det tillåtna intervallet, men −3 kan inte bli en kvadratrot.

Jämför med bokköpet: där är 2,25 böcker inte tillåtet. En definitionsmängd måste därför beskriva både gränserna och om alla mellanvärden ingår.