Lutning och startvärde

Om y ändras lika mycket varje gång x ökar med samma antal, har vi ett samband med konstant förändring. En linjär funktion skrivs:

x är invärdet och y är utvärdet. Talen k och m är fasta för just den funktionen. Grafen är en rät linje när alla reella x tillåts. En praktisk situation kan begränsa vilka x som får användas.

Här ger x-värdena 0, 1 och 2 y-värdena 1, 3 och 5. Varje steg på en enhet åt höger ger två enheter uppåt.

Lutningen k anger ändringen i y när x ökar med en enhet. Startvärdet m är värdet när x = 0: då försvinner termen kx. Linjen skär därför y-axeln i $(0,m)$.

Ändrar du bara m flyttas hela linjen uppåt eller nedåt utan att lutningen ändras. Förutsäg vad som händer när k byter tecken eller blir noll, och undersök sedan linjen.

En cykeluthyrning tar 50 kr i startavgift och 20 kr per timme. Anta att även delar av en timme debiteras proportionellt och att inga andra avgifter tillkommer. Om x är hyrestiden i timmar och y kostnaden i kronor blir modellen:

Vi använder modellen för hyror på högst åtta timmar. Lutningen är 20 kr per timme och startvärdet 50 kr är avgiften vid hyrans början. Enheterna hjälper dig att skilja dem åt.

Två timmar kostar 90 kr och fyra timmar 130 kr. Två extra timmar ökar kostnaden med 40 kr. Tiden fördubblas, men hela kostnaden fördubblas inte: startavgiften betalas bara en gång.

En linjär funktion beskriver ett proportionellt samband precis när startvärdet är noll. Då går linjen genom origo. Dubbelt x ger dubbelt y, och kvoten y/x är konstant för x som inte är noll.

Utan startavgift är hyreskostnaden proportionell mot tiden. Med modellen $y=20x+50$ är sambandet fortfarande linjärt, men inte proportionellt. Den fasta avgiften gör att linjen inte går genom origo.

Startvärdet är 6. På y-axeln är x = 0, så skärningen är $(0,6)$. För att hitta skärningen med x-axeln gör du i stället y till noll:

Skärningen med x-axeln är alltså $(3,0)$, inte startvärdet 6. Om du använder ett negativt x, sätt det inom parentes:

Två negativa faktorer ger en positiv produkt. En fallande linje får större y när du går åt vänster, så 8 är rimligt jämfört med 6 vid x = 0.

Ange lutningen och startvärdet. Hur ändras y om x ökar med 2? Är sambandet proportionellt? Försök först själv.

Kontroll: y minskar med 3 för varje enhet x ökar, alltså med 6 för två enheter. Startvärdet är 12 och linjen går genom $(0,12)$. Sambandet är inte proportionellt eftersom m inte är noll.

Punkten $(4,0)$ ligger på x-axeln. Den ger en extra kontroll av både lutningen och skillnaden mellan de två axlarnas skärningar.