Bestäm en linjes ekvation

Välj två punkter på linjen, $(x_1,y_1)$ och $(x_2,y_2)$. Bokstaven delta betyder förändring. Beräkna y-förändringen per enhet x:

Nämnaren måste vara skild från noll. Subtrahera punkternas koordinater i samma ordning i täljaren och nämnaren. Om du byter ordning i båda ändras båda tecknen och kvoten blir densamma.

Vanlig miss: att vända bråket. Det ska vara ändring i y delat med ändring i x. Med kronor på y-axeln och timmar på x-axeln blir lutningens enhet kr per timme. Läs alltid axlarnas tal; en ruta behöver inte motsvara en enhet.

En linje går genom $A=(-1,4)$ och $B=(2,10)$. Från A till B ökar y med 6 och x med 3. Parentesen runt −1 hjälper oss att räkna skillnaden rätt:

Sätt in k = 2 och koordinaterna från A i $y=kx+m$. Då är m det enda okända talet:

Kontroll med den andra punkten: $2\cdot2+6=10$. B stämmer också. Grafen visar A, B och skärningen $(0,6)$ med y-axeln. Två punkter bestämmer här en linje; de bevisar inte att ett verkligt samband är linjärt mellan punkterna.

Lutningen är $k=-\frac12$ och linjen går genom $(4,1)$. Sätt in punktens x och y för att hitta m:

Kontroll: när x = 4 får vi −2 + 3 = 1. Två steg åt höger ska sänka y med 1, så även punkten $(6,0)$ ligger på linjen.

Samma metod kan skrivas direkt med den kända punkten. Formen nedan säger att y-förändringen är lutningen gånger x-förändringen:

Lutningen är 2 för båda, men startvärdena är olika. De är skilda parallella linjer och möts aldrig. För varje x är den första linjens y-värde 7 större.

Här är både k och m lika efter förenkling. Formlerna beskriver samma linje, så varje punkt är gemensam. Likadan lutning räcker alltså inte för att säga att två linjer är skilda.

Två linjer med olika lutning skär varandra i exakt en punkt när hela linjerna är med. Om en praktisk modell begränsar x-värdena kan skärningen ligga utanför det tillåtna området.

Alla punkter med x-koordinaten 3 ligger på denna lodräta linje, till exempel $(3,1)$ och $(3,5)$. Samma x har flera y-värden. Därför är linjen inte en funktion y av x och kan inte skrivas som y = kx + m.

Lutningsformeln skulle kräva division med noll, eftersom x inte ändras. Lutningen är därför inte definierad. Den är inte noll.

Detta är däremot en vågrät linje med k = 0. Varje x har exakt ett y-värde, nämligen 3. Skilj alltså på konstant x, som ger en lodrät linje, och konstant y, som ger en vågrät linje.

Bestäm ekvationen för linjen genom $(1,5)$ och $(3,1)$. Avgör sedan om den är parallell med $y=-2x+4$. Försök innan du läser lösningen.

Kontroll med den andra punkten: $-2\cdot3+7=1$. Båda punkterna stämmer. Bråket ska inte vändas: y minskar med 4 under två steg åt höger, alltså med 2 per steg.

Linjerna är skilda och parallella: båda har k = −2, men startvärdena är 7 och 4. De har samma lutning utan att vara samma linje.