Vinkelsummor

Vi arbetar med raka linjer i ett plant område. Rita en triangel ABC och dra en hjälplinje genom C som är parallell med sidan AB. I skissen är de två vågräta linjerna parallella genom konstruktionen.

Vi har använt parallellitet och en sträckt vinkel, inte mätt i bilden. Därför gäller resonemanget för varje triangel i planet, oavsett hur den ser ut.

I en triangel är två inre vinklar $48^\circ$ och $67^\circ$. Kalla den tredje vinkeln v. Alla tre ska tillsammans bli $180^\circ$.

Kontroll: $48^\circ+67^\circ+65^\circ=180^\circ$. Varje inre vinkel är större än noll och mindre än en sträckt vinkel.

I en rätvinklig triangel tar den räta vinkeln redan $90^\circ$ av summan. De två andra vinklarna har därför summan $90^\circ$. Är en av dem $32^\circ$ är den andra $90^\circ-32^\circ=58^\circ$.

En diagonal förbinder två hörn som inte ligger intill varandra. Rita en diagonal inuti en fyrhörning utan korsande sidor. Den delar figuren i två trianglar, vars vinklar tillsammans är precis fyrhörningens inre vinklar.

I en konvex månghörning finns inga hörn som pekar inåt. Dra diagonaler från ett hörn till alla hörn som inte ligger intill. En femhörning delas då i tre trianglar, en sexhörning i fyra. Med n hörn blir det n minus två trianglar:

Formeln gäller för summan av de inre vinklarna i varje enkel månghörning, alltså en sluten figur vars sidor inte korsar varandra. Även en figur med hörn som pekar inåt kan delas i n minus två trianglar, men diagonalerna kan då behöva dras från olika hörn.

Summan säger inte att alla vinklar är lika. En fyrhörning har summan $360^\circ$ även om ingen av dess vinklar är rät.

En ram ska ha formen av en regelbunden sexhörning. Regelbunden betyder att alla sidor är lika långa och alla inre vinklar lika stora. Hur stor ska den inre vinkeln vara i varje hörn?

Varje inre hörnvinkel är alltså $120^\circ$. Divisionen med 6 fungerar eftersom just den här sexhörningens vinklar är lika stora. En oregelbunden sexhörning har samma vinkelsumma, men behöver inte ha samma vinkel i varje hörn.

Kontroll: $6\cdot120^\circ=720^\circ$. Resultatet beskriver vinkeln inne i ramen; det är inte automatiskt en sågs inställning.

I triangeln ABC är vinkeln vid A $45^\circ$. Sidan AB förlängs förbi B till D. Vinkeln CBD utanför triangeln är $125^\circ$. Bestäm triangelns inre vinkel vid C.

Den yttre vinkeln och triangelns vinkel vid B är sidovinklar, eftersom A, B och D ligger på en rät linje. Hitta först den inre vinkeln:

Använd sedan triangelns vinkelsumma:

En vanlig miss är att lägga ihop den yttre vinkeln med två inre vinklar och sätta summan till $180^\circ$. Vinkelsumman gäller bara triangelns tre inre vinklar. Vårt svar klarar kontrollen $45^\circ+55^\circ+80^\circ=180^\circ$.

En triangels inre vinklar är $x^\circ$, $2x^\circ$ och $30^\circ$. Här är x ett tal som anger antalet grader. Bestäm x och skriv sedan ut alla tre vinklarna innan du läser lösningen.

Vinklarna blir alltså $50^\circ$, $100^\circ$ och $30^\circ$. Svaret på frågan om x är 50, men hela lösningen ska också ange de tre vinklarna.

Extra koll: en fyrhörning har tre inre vinklar på $70^\circ$, $110^\circ$ och $95^\circ$. Den fjärde är $360^\circ-70^\circ-110^\circ-95^\circ=85^\circ$. Här väljer vi fyrhörningens summa, inte triangelns.