Lektion 2 av 2

Volym

Målet med lektionen

Använda volymformler och rimliga enheter.

6 avsnittCirka 3 min läsning4 exempel

Tänk i lager av små kuber

Förklaring

Volym beskriver utrymmet i en kropp. Ett rätblock med längden 5 cm, bredden 3 cm och höjden 2 cm rymmer två lager med 15 centimeterkuber i varje.

V=lbh=5\cdot3\cdot2=30\,\mathrm{cm}^3

En kubikcentimeter är volymen av en kub med sidan 1 cm. För en kub med sidan s är volymen $V=s^3$ . Kvadratcentimeter mäter en yta och kan därför inte vara volymens enhet.

Ett prisma har två parallella, likadana basytor. Alla tvärsnitt parallella med basytorna har samma area. Låt B beteckna basytans area och h det vinkelräta avståndet mellan basytorna. Då gäller:

V=Bh

En cylinder har en cirkel som bas

Exempel

Även en cylinder har samma tvärsnittsarea hela vägen mellan basytorna. Basytan är en cirkel, så räkna först ut cirkelns area och multiplicera sedan med cylinderns höjd.

B=\pi r^2,\qquad V=Bh=\pi r^2h

En cylindrisk burk har innerradien 2 cm och den inre höjden 10 cm. Hur mycket rymmer den när den är fylld ända upp?

V=\pi\cdot2^2\cdot10=40\pi\,\mathrm{cm}^3\approx126\,\mathrm{cm}^3

Burken rymmer alltså ungefär 126 milliliter, avrundat till heltal, eftersom en kubikcentimeter är en milliliter. Formeln använder radien. Om diametern anges måste du först halvera den.

Pyramid och kon: en tredjedel

Förklaring

En pyramid eller kon smalnar av från en basyta till en spets. Dess volym är en tredjedel av volymen hos ett prisma eller en cylinder med samma basarea och samma vinkelräta höjd.

V_{\text{pyramid}}=\frac{Bh}{3},\qquad V_{\text{kon}}=\frac{\pi r^2h}{3}

En pyramid har en rektangulär bas med sidorna 6 cm och 4 cm. Spetsen ligger 9 cm vinkelrätt över basens plan. Först räknar vi basarean, sedan volymen:

B=6\cdot4=24\,\mathrm{cm}^2,\qquad V=\frac{24\cdot9}{3}=72\,\mathrm{cm}^3

Ett prisma med samma basarea och höjd skulle ha volymen 216 kubikcentimeter. Glömmer du tredjedelen blir svaret tre gånger för stort. Höjden mäts från spetsen vinkelrätt till basens plan, inte längs en sned kant eller konens sida.

Ett klot mäts från centrum

Exempel

Ett klot är en rund kropp, som en massiv kula. Dess radie r är avståndet från centrum till ytan. Tvärsnitten är olika stora på olika höjd, så klotet har en egen volymformel:

V=\frac{4\pi r^3}{3}

En massiv kula har diametern 6 cm och alltså radien 3 cm. Volymen blir:

V=\frac{4\pi\cdot3^3}{3}=36\pi\,\mathrm{cm}^3\approx113\,\mathrm{cm}^3

Svaret är avrundat till hela kubikcentimeter. Lägg märke till exponenten 3: i cirkelns area används radien i kvadrat, men i klotets volym används radien i kubik. En halvkula med samma radie har halva denna volym.

Från tankens mått till liter

Exempel

En tank är ett rätblock med innermåtten 50 cm, 30 cm och 20 cm. Om vi mäter alla längder i decimeter får vi volymen direkt i kubikdecimeter, alltså liter.

V=5\cdot3\cdot2=30\,\mathrm{dm}^3=30\,\mathrm{L}

Det är tankens kapacitet när den fylls ända upp. Med måtten i meter blir samma volym:

V=0{,}5\cdot0{,}3\cdot0{,}2=0{,}03\,\mathrm{m}^3=30\,\mathrm{L}

1\,\mathrm{m}^3=(10\,\mathrm{dm})^3=1\,000\,\mathrm{dm}^3,\qquad1\,\mathrm{dm}^3=1\,000\,\mathrm{cm}^3

Längdens omvandlingsfaktor kuberas eftersom volymen har tre riktningar. Vanlig fälla: att multiplicera 50 cm, 0,3 m och 2 dm som om enheterna vore lika. Omvandla först. Använd innermåtten när frågan gäller hur mycket behållaren rymmer.

Din tur: hitta basytan först

Exempel

Ett rakt prisma är 10 cm långt. Dess ändyta är en triangel med basen 4 cm och vinkelrät höjd 3 cm. Bestäm prismats volym. Tänk på att triangelns höjd och prismats längd används i olika steg.

B=\frac{4\cdot3}{2}=6\,\mathrm{cm}^2

V=B\cdot10\,\mathrm{cm}=6\,\mathrm{cm}^2\cdot10\,\mathrm{cm}=60\,\mathrm{cm}^3

Triangelns area är prismats basarea. När den multipliceras med avståndet mellan ändytorna blir enheten kubikcentimeter. Svaret 120 skulle innebära att triangelns halvering glömts bort.

Extra koll: en cylinder har volymen 90 kubikcentimeter. En kon har samma basradie och samma höjd. Konens volym är $90/3=30\,\mathrm{cm}^3$ , eftersom både basarean och höjden är desamma. Ingen ny beräkning med pi behövs.

Testa dig själv

Längd, yta eller volym?

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

En rätblockformad låda har de inre måtten 4 dm, 3 dm och 2 dm. Hur mycket rymmer den?

24 liter12 liter9 liter

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…