Lektion 2 av 2

Lösa ut en variabel

Målet med lektionen

Omforma och kontrollera en formel.

6 avsnittCirka 3 min läsning5 exempel

Låt den sökta variabeln stå ensam

Förklaring

Att lösa ut en variabel betyder att skriva den ensam i ena ledet. Likheten ska bevaras. Addera eller subtrahera samma uttryck i båda leden, eller multiplicera eller dividera båda leden med samma tal som är skilt från noll.

Utgå från cykelhyran: K är kostnaden i kronor och n antalet hela timmar. Vi vill kunna beräkna n när K är känt. Ta bort engångsavgiften först och dela sedan med timpriset.

K=40+25n

K-40=25n\qquad n=\frac{K-40}{25}

För $K=115$ blir $n=3$ . I den här modellen måste svaret vara ett positivt heltal för att beskriva ett tillåtet antal hyrtimmar. En algebraisk formel behöver alltså också tolkas i sitt sammanhang.

Lös ut sträckan ur hastighetsformeln

Exempel

Låt s vara sträckan i km, t tiden i h och v medelhastigheten i km/h. Vi antar att t är större än noll. Sträckan står i täljaren. Multiplicera båda leden med t för att ta bort divisionen.

v=\frac{s}{t}\quad\Longrightarrow\quad vt=\frac{s}{t}\cdot t=s

s=vt

Vid medelhastigheten 12 km/h under 1,5 h blir sträckan:

s=12\cdot1{,}5\,\mathrm{km}=18\,\mathrm{km}

Kontroll i ursprungsformeln: 18 delat med 1,5 är 12. Även enheterna stämmer: km/h multiplicerat med h ger km. Algebraiskt kräver ursprungsformeln att t är skilt från noll.

När den sökta variabeln står i nämnaren

Exempel

Nu söker vi tiden t i samma formel. Börja med att multiplicera båda leden med t. Därefter dividerar du båda leden med v, förutsatt att v är skilt från noll.

v=\frac{s}{t}\quad\Longrightarrow\quad vt=s\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{s}{v}

Om sträckan är 30 km och medelhastigheten 20 km/h blir tiden:

t=\frac{30}{20}\,\mathrm{h}=1{,}5\,\mathrm{h}=90\,\mathrm{min}

Villkoren följer med: ursprungsformeln kräver $t\ne0$ och divisionen med v kräver $v\ne0$ . För en färd med positiv sträcka och positiv medelhastighet blir tiden positiv.

Om $v=0$ kan du inte använda $s/v$ . Om även $s=0$ passar vilken positiv tid som helst i ursprungsformeln, så tiden kan inte bestämmas enbart ur dessa uppgifter.

Subtrahera först, dividera sedan

Exempel

C och F är temperaturens talvärden i Celsius respektive Fahrenheit. Lös ut C för att omvandla åt andra hållet. Börja med att subtrahera 32 i båda leden.

F=1{,}8C+32\quad\Longrightarrow\quad F-32=1{,}8C

C=\frac{F-32}{1{,}8}

För 68 °F får vi $C=\frac{68-32}{1{,}8}=20$ , alltså 20 °C. Kontroll: $1{,}8\cdot20+32=68$ .

Vanligt fel: att bara dividera F med 1,8. Hela uttrycket $F-32$ ska divideras. På räknaren behöver du därför parenteser runt täljaren:

(68-32)/1{,}8=20\qquad 68/1{,}8-32\ne20

En radie kan inte vara negativ

Exempel

Låt A vara en cirkels area i cm² och r dess radie i cm. Anta att arean är positiv. För att lösa ut radien dividerar du först med π och tar sedan kvadratroten.

A=\pi r^2\quad\Longrightarrow\quad r^2=\frac{A}{\pi}\quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}

En cirkel har exakt arean $25\pi\,\mathrm{cm}^2$ . Då blir radien:

r=\sqrt{\frac{25\pi}{\pi}}\,\mathrm{cm}=\sqrt{25}\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}

Ekvationen $r^2=25$ har de algebraiska lösningarna 5 och −5. Här beskriver r en längd, så vi väljer den positiva roten. Kontroll: $\pi\cdot5^2=25\pi$ . Divisionen är tillåten eftersom π inte är noll.

Din tur: tid och kontroll

Exempel

En färd är 18 km lång och har medelhastigheten 24 km/h. Utgå från $v=s/t$ och lös ut t innan du sätter in värdena. Är rätt uttryck $s/v$ eller $v/s$ ? Vilket villkor behövs för den nya divisionen?

Kontroll: multiplicera först båda leden med t och dividera sedan med v. Medelhastigheten måste vara skild från noll, vilket 24 är.

vt=s\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{s}{v}=\frac{18}{24}\,\mathrm{h}=0{,}75\,\mathrm{h}=45\,\mathrm{min}

Sätt in tiden i ursprungsformeln:

\frac{18\,\mathrm{km}}{0{,}75\,\mathrm{h}}=24\,\mathrm{km/h}

Det stämmer. Uttrycket $v/s$ skulle ge enheten 1/h, inte timmar. Enhetskontroll hjälper dig alltså att upptäcka en omvänd kvot.

Testa dig själv

Stämmer formeln, enheten och villkoret?

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

Utgå från $v=\frac{s}{t}$ med reella variabler och $t\ne0$ . Du vill lösa ut $t$ . Vilket alternativ ger rätt uttryck och anger det ytterligare villkor som behövs för den nya divisionen?

\displaystyle t=\frac{s}{v}

, förutsatt att

\displaystyle v\ne0

\displaystyle t=\frac{v}{s}

, förutsatt att

\displaystyle s\ne0

\displaystyle t=\frac{s}{v}

, även när

\displaystyle v=0

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…

Låt den sökta variabeln stå ensam

Lös ut sträckan ur hastighetsformeln

När den sökta variabeln står i nämnaren

Subtrahera först, dividera sedan

En radie kan inte vara negativ

Din tur: tid och kontroll

Stämmer formeln, enheten och villkoret?

Utgå från v=stv=\frac{s}{t}v=ts​ med reella variabler och t≠0t\ne0t=0. Du vill lösa ut ttt. Vilket alternativ ger rätt uttryck och anger det ytterligare villkor som behövs för den nya divisionen?

Stämmer formeln, enheten och villkoret?

Utgå från v=stv=\frac{s}{t}v=ts​ med reella variabler och t≠0t\ne0t=0. Du vill lösa ut ttt. Vilket alternativ ger rätt uttryck och anger det ytterligare villkor som behövs för den nya divisionen?

Utgå från $v=\frac{s}{t}$ med reella variabler och $t\ne0$ . Du vill lösa ut $t$ . Vilket alternativ ger rätt uttryck och anger det ytterligare villkor som behövs för den nya divisionen?

Utgå från $v=\frac{s}{t}$ med reella variabler och $t\ne0$ . Du vill lösa ut $t$ . Vilket alternativ ger rätt uttryck och anger det ytterligare villkor som behövs för den nya divisionen?