Kvadrat- och kubikekvationer

I en potensekvation känner du resultatet av en potens och söker basen. I ekvationen nedan frågar vi vilka tal som ger 36 när de multipliceras med sig själva.

Båda talen fungerar. Skriv dem var för sig eller använd ±, som betyder plus eller minus.

Skilj ekvationens lösningar från rottecknets värde. Kvadratroten ur 36 är bestämd till det icke-negativa talet 6. Minustecknet i den andra lösningen står utanför roten.

Vi söker reella lösningar, alltså tal på den vanliga tallinjen. Ett positivt eller negativt tal i kvadrat ger ett positivt resultat. Bara noll i kvadrat ger noll.

Att högerledet inte är en känd kvadrat betyder däremot inte att lösningar saknas. Ett rotuttryck kan vara ett exakt svar.

De avrundade talen ger ungefär 7 när de kvadreras. De exakta lösningarna ger precis 7.

Med tre likadana faktorer finns ett minustecken kvar om basen är negativ. Därför kan en kub bli både positiv, noll och negativ.

Kubikroten ur ett tal är det enda reella tal som ger talet under roten när det upphöjs till tre.

Skriv inte ± framför kubikroten. I den negativa ekvationen fungerar −3, men 3 ger fel tecken. När basen ökar blir även kuben större, så två olika reella baser kan inte ge samma kub.

Lös ekvationen. Börja med att addera 5 i båda leden och dividera sedan båda leden med 3.

Kontrollera båda svaren i ekvationen du började med. Använd parenteser runt ett negativt tal som ska kvadreras.

Båda fungerar. Ta inte roten ur 43 direkt: potensen står ännu inte ensam i första raden. Att dela 16 med 2 tar inte heller bort kvadreringen; du behöver kvadratroten.

En kvadratisk skiva ska ha arean 225 kvadratcentimeter. Hur lång ska sidan vara? Låt s vara sidlängdens talvärde i centimeter. Arean är sidan gånger sig själv.

Som ekvation har detta två reella lösningar. Men skivans sidlängd ska vara positiv, så bara $s=15$ passar situationen. Sidan ska vara 15 cm.

Kontrollen stämmer både till värde och enhet. En negativ lösning får inte strykas bara för att den är negativ; här är det tolkningen som längd som utesluter den.

En elev skriver svaren nedan. Vilka behöver ändras? Försök motivera innan du läser förklaringen.

Alla tre behöver ändras. I första svaret saknas −7, eftersom även −7 i kvadrat är 49. I andra fungerar bara −2: dess kub är −8, medan kuben av 2 är 8.

Den tredje ekvationen saknar reell lösning. Att högerledet först är noll räcker inte för att dra slutsatsen $x=0$. Isolera alltid potensen innan du räknar lösningar.