Ekvationer med andra exponenter

Samma idé gäller högre potenser. Här är n alltid ett positivt heltal och a ett reellt tal. Den obekanta är basen, inte exponenten.

Rotens lilla n anger vilken potens den gör ogjord. För jämnt n betyder rottecknet alltid den icke-negativa roten. Lösningens minustecken måste då skrivas separat.

En jämn exponent parar ihop alla minustecken. En udda exponent lämnar ett minus kvar. För udda n växer potensen när basen växer, så varje högerled kan bara nås en gång.

Lös ekvationen genom att först addera 7 och sedan dividera med 2 i båda leden.

Exponent 4 är jämn och 16 är positivt. Därför ska du få två lösningar. Kontrollera dem i ursprungsekvationen:

Du behöver fjärde roten, inte kvadratroten. Svaret 4 skulle ge 256 när det upphöjs till fyra och uppfyller inte ekvationen.

Subtrahera först 10 och dividera därefter med 3 i båda leden. Bedöm tecknet på svaret innan du tar roten.

Exponent 5 är udda. Det finns precis en reell lösning och den ska vara negativ. Kontroll:

Om din räknare inte accepterar en udda rot ur ett negativt tal kan du ta roten ur motsvarande positiva tal och sätta minus framför. Det fungerar eftersom exponenten är udda.

I nästa ekvation är hela uttrycket i parentesen basen. Bestäm först vilka värden basen kan ha. Lös sedan de två enkla ekvationerna.

Fjärde roten ur 81 är 3. Det ger både 3 och −3 som möjliga värden på parentesen, men inte direkt på x. Addera 1 i båda fallen.

Lösningarna är alltså inte alltid varandras motsatser. Det är basens två värden som är motsatser i en jämn potensekvation med positivt högerled.

En låda ska ha ett kubformat utrymme som rymmer 50 liter. Vi räknar med en ideal kub och bortser från väggarnas tjocklek. En liter är en kubikdecimeter. Låt s vara den invändiga kantlängdens talvärde i decimeter.

Den invändiga kanten ska vara ungefär 3,68 dm. Rotuttrycket är exakt; decimaltalet är avrundat till två decimaler. Kontrollera först storleksordningen:

Kanten ska ligga mellan 3 och 4 dm, vilket svaret gör. Kuben av det avrundade talet är cirka 49,84, alltså nära 50. Behåll fler siffror vid fortsatt beräkning och avrunda först i slutsvaret.

Hur många reella lösningar finns? Lös de ekvationer som går. Isolera potensen och granska sedan exponent och högerled.

Båda exakta rötterna ger 10 i fjärde potens, så vänsterledet blir 30. Att dela 10 med 4 skulle ge fel svar: roten gör upphöjningen ogjord, medan division gör multiplikation ogjord.

Gäller detta även $x^6=0$? Där finns också bara lösningen 0. En jämn exponent ger två lösningar först när den isolerade potensens högerled är positivt.