Lektion 1 av 2

Bas och exponent

Målet med lektionen

Tolka en potens och använda potenslagar.

6 avsnittCirka 2 min läsning4 exempel1 lekplats

Många likadana faktorer? Skriv en potens

Förklaring

Du väljer mellan två färger för var och en av fyra lampor. Varje nytt val ger två möjligheter. Antalet färgkombinationer blir:

2\cdot2\cdot2\cdot2=2^4=16

I potensen är 2 bas och 4 exponent. Exponenten säger att produkten har fyra faktorer som alla är 2. Det är inte samma sak som $2\cdot4=8$ .

$a^1=a$ : en faktor är bara talet självt.
$a^2$ läses ”a i kvadrat”.
$a^3$ läses ”a i kubik”.

Samma bas: räkna faktorerna

Exempel

Vid multiplikation samlar du alla faktorer. Tre tvåor och två tvåor blir fem tvåor:

2^3\cdot2^2=2^{3+2}=2^5=32

Vid division kan gemensamma faktorer förkortas. Av fem tvåor i täljaren försvinner två:

\frac{2^5}{2^2}=2^{5-2}=2^3=8

a^m\cdot a^n=a^{m+n}\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

Reglerna kräver samma bas. Vid division måste $a\ne0$ . Basen står kvar; det är exponenterna som ändras. Regeln för division fungerar även när exponenten i svaret blir noll eller negativ, vilket vi undersöker i nästa lektion.

Potensverkstaden

Prova själv

Laddar aktiviteten…

En potens upphöjd till en potens

Exempel

Här upprepas hela potensen. Tre grupper med två femmor i varje ger totalt sex femmor:

(5^2)^3=5^2\cdot5^2\cdot5^2=5^{2+2+2}=5^6

(a^m)^n=a^{m\cdot n}

Multiplicera exponenterna när en potens upphöjs till en ny exponent. Jämför de två olika situationerna:

(2^3)^2=2^6=64\qquad 2^3\cdot2^2=2^5=32

Titta alltså på formen först: finns en ny exponent utanför parentesen, eller multipliceras två potenser?

En exponent utanför parentesen

Förklaring

När en produkt upphöjs till en exponent får varje faktor exponenten. För ett bråk gäller det både täljaren och nämnaren:

(ab)^n=a^n b^n

\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\qquad b\ne0

(2\cdot3)^2=2^2\cdot3^2=4\cdot9=36

\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}

Här är n ett positivt heltal. Reglerna gäller också för noll och negativa heltal när alla berörda baser är skilda från noll.

Se upp: regeln gäller inte addition. $(2+3)^2=25$ medan $2^2+3^2=13$ .

Är minustecknet med i basen?

Exempel

(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9

-3^2=-(3\cdot3)=-9

Parenteserna avgör! I första raden är hela talet minus tre bas. I andra raden görs potensen först och sedan sätts minus framför resultatet.

För en negativ bas ger en jämn positiv heltalsexponent ett positivt svar. Minustecknen kan paras ihop. En udda exponent lämnar ett minustecken över:

(-2)^4=16\qquad (-2)^3=-8

Skriv alltid parenteser runt en negativ bas på räknaren. Då är det tydligt vad som ska upphöjas.

Din tur: välj regel innan du räknar

Exempel

Förenkla själv först. Vilka uttryck kan skrivas som en enda potens?

3^2\cdot3^4\qquad (3^2)^4\qquad 3^2+3^4

$3^2\cdot3^4=3^6$ . Samma bas och multiplikation: addera exponenterna.
$(3^2)^4=3^8$ . Potens av en potens: multiplicera exponenterna.
$3^2+3^4=9+81=90$ . Addition har ingen motsvarande potenslag.

Extra koll: kan du använda regeln för samma bas på $2^3\cdot3^2$ ? Nej. Baserna är olika. Beräkna i stället $8\cdot9=72$ .

Testa dig själv

Har du koll på exponenten?

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

Skriv $3^2\cdot3^4$ som en enda potens. Vilket svar stämmer?

\displaystyle 3^8

\displaystyle 3^6

\displaystyle 9^6

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…

Många likadana faktorer? Skriv en potens

Samma bas: räkna faktorerna

Potensverkstaden

En potens upphöjd till en potens

En exponent utanför parentesen

Är minustecknet med i basen?

Din tur: välj regel innan du räknar

Har du koll på exponenten?

Skriv 32⋅343^2\cdot3^432⋅34 som en enda potens. Vilket svar stämmer?

Har du koll på exponenten?

Skriv 32⋅343^2\cdot3^432⋅34 som en enda potens. Vilket svar stämmer?

Potensverkstaden

Skriv $3^2\cdot3^4$ som en enda potens. Vilket svar stämmer?

Skriv $3^2\cdot3^4$ som en enda potens. Vilket svar stämmer?