Lektion 2 av 2

Beräkna en sida

Målet med lektionen

Välja addition eller subtraktion och kontrollera svaret.

6 avsnittCirka 3 min läsning4 exempel

Söker du hypotenusan eller en katet?

Förklaring

Kontrollera först den räta vinkeln och märk ut hypotenusan c. Skriv alla sidlängder i samma enhet. Utgå sedan från $a^2+b^2=c^2$ .

Okänd hypotenusa: addera kateternas kvadrater och ta roten. $c=\sqrt{a^2+b^2}$
Okänd katet: subtrahera den kända katetens kvadrat från hypotenusans kvadrat och ta roten. $a=\sqrt{c^2-b^2}$

När du söker en katet måste hypotenusan vara längre än den kända kateten. Längder är positiva, så vi väljer den positiva roten.

En diagonal kräver addition

Exempel

En rektangulär skärm är 48 cm bred och 36 cm hög. Hur lång är diagonalen? Rektangelns hörn är räta. Bredden och höjden blir kateter och diagonalen blir hypotenusa.

d^2=48^2+36^2=2304+1296=3600

d=\sqrt{3600}=60

Diagonalen är 60 cm, om de givna måtten är exakta. Vi räknade med sidlängdernas talvärden i centimeter. Mellanresultatet 3600 motsvarar cm²; när vi tar roten återgår enheten till cm.

Rimlighetskontroll: 60 cm är längre än både 48 cm och 36 cm. Det stämmer med att diagonalen är hypotenusan.

En okänd katet kräver subtraktion

Exempel

En 5,0 m lång stege står mot en lodrät vägg. Foten står 1,4 m från väggen på vågrät mark. Hur högt når stegen? I modellen är vägg och mark vinkelräta, stegen rak och längderna givna enligt måtten.

Stegen är hypotenusan. Höjden h och markavståndet är kateter. Med längder i meter får vi:

h^2+1{,}4^2=5{,}0^2

h^2=25-1{,}96=23{,}04\qquad h=\sqrt{23{,}04}=4{,}8

Stegen når cirka 4,8 m upp. Talvärdet är exakt för modellens indata; verkliga mätningar är ungefärliga. Kontroll: höjden är mindre än stegens längd och $4{,}8^2+1{,}4^2=23{,}04+1{,}96=25$ .

Samma enhet och avrundning sist

Exempel

En rektangulär panel är 1,2 m bred och 80 cm hög. Vi vill beräkna diagonalen i meter. Byt först enhet: $80\,\mathrm{cm}=0{,}80\,\mathrm{m}$ .

d^2=1{,}2^2+0{,}80^2=1{,}44+0{,}64=2{,}08

d=\sqrt{2{,}08}\,\mathrm{m}\approx1{,}44\,\mathrm{m}

Med modellens givna mått är rotuttrycket det exakta värdet. Svaret 1,44 m är avrundat till närmaste centimeter, därför använder vi ungefär-lika-tecknet. Behåll fler decimaler i mellanleden och avrunda först svaret.

Att räkna $1{,}2^2+80^2$ skulle blanda meter och centimeter. Ett sådant tal beskriver inte panelens diagonal.

Fånga felen innan du svarar

Förklaring

Glöm inte kvadraterna. Kateterna 3 och 4 ger $\sqrt{3^2+4^2}=5$ , inte $3+4=7$ .
Glöm inte roten. Om $x^2=49$ är den positiva längden $x=7$ , inte 49.
Kvadratroten fördelas inte över en summa. $\sqrt{9+16}=5\ne\sqrt9+\sqrt{16}=7$ .
Om subtraktionen ger ett negativt tal under roten har något blivit fel: kontrollera hypotenusan, enheterna och uppgiften. En verklig sidlängd kan inte vara roten ur ett negativt tal.

Sätt gärna in ditt svar i det ursprungliga sambandet. Om hypotenusan blir kortare än en katet är svaret orimligt, även om räknaren visade ett tal.

Din tur: vilken sida saknas?

Exempel

En rätvinklig triangel har hypotenusan 17 cm och en katet på 8 cm. Hur lång är den andra kateten? Bestäm först om du ska addera eller subtrahera.

Kontroll: kalla den okända kateten x och skriv sambandet innan du räknar.

x^2+8^2=17^2\quad\Longrightarrow\quad x^2=289-64=225

x=\sqrt{225}=15

Kateten är 15 cm. Vi subtraherar eftersom hypotenusan redan är känd. Svaret är kortare än 17 cm, och insättning ger $15^2+8^2=225+64=289=17^2$ .

Om 17 cm och 8 cm i stället hade varit två kateter skulle hypotenusan bli $\sqrt{17^2+8^2}=\sqrt{353}\approx18{,}8$ cm. Samma två tal kan alltså kräva olika räknesätt beroende på vilka sidor de beskriver.

Testa dig själv

Vilken sida söker du?

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

Kateterna i en rätvinklig triangel är 5 cm och 7 cm. Hur lång är hypotenusan?

\displaystyle \sqrt{74}\,\mathrm{cm}\approx8{,}60\,\mathrm{cm}

\displaystyle 12\,\mathrm{cm}

\displaystyle 74\,\mathrm{cm}

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…