Sambandet mellan sidorna

En rätvinklig triangel har en vinkel på $90^\circ$. De två sidor som möts där kallas kateter. Sidan mitt emot kallas hypotenusa. Den är alltid längst.

Här betecknar a och b kateternas längder och c hypotenusans längd. Bildens lilla kvadrat markerar den räta vinkeln. Om bilden vrids är c fortfarande hypotenusan: det är läget mitt emot den räta vinkeln som avgör.

Tänk dig en kvadrat byggd på var och en av triangelns sidor. Om sidlängden är a har kvadraten arean $a^2$. Pythagoras sats säger att de två mindre kvadraterna tillsammans har samma area som den största kvadraten.

En rätvinklig triangel har kateterna 3 cm och 4 cm. Då blir areorna:

Kvadraten på hypotenusan har alltså arean 25 cm². Dess sida, som också är hypotenusan, är:

Observera skillnaden: 25 cm² är en area, medan 5 cm är en längd. Satsen adderar kvadrater av längder, inte längderna själva.

Lägg fyra likadana rätvinkliga trianglar i hörnen av en stor kvadrat. Varje triangel har kateterna a och b samt hypotenusan c. Den stora kvadratens sida blir $a+b$.

Hålet i mitten har fyra lika långa sidor, alla c. Vid ett av hålets hörn ligger triangelns två spetsiga vinklar intill hålets vinkel på en rak linje. De spetsiga vinklarna är tillsammans $90^\circ$, så hålets vinkel är också $90^\circ$. Samma sak gäller i varje hörn. Hålet är därför en kvadrat med arean $c^2$.

Räkna nu den stora kvadratens area på två sätt: sida gånger sida, eller fyra trianglar plus hålet.

Vi utvecklade kvadraten och tog sedan bort $2ab$ från båda leden. Resonemanget fungerar för alla positiva katetlängder, inte bara för triangelns proportioner i bilden.

Om en triangel har sidorna a, b och c, där c är längst, och $a^2+b^2=c^2$, så är triangeln rätvinklig. Detta kallas omvändningen av Pythagoras sats. Den räta vinkeln ligger då mitt emot c.

En triangel har de exakta sidlängderna 5 cm, 12 cm och 13 cm. Välj den längsta sidan 13 cm och jämför:

Värdena är lika. Triangeln är alltså rätvinklig, med hypotenusan 13 cm. Vinkeln mellan sidorna 5 cm och 12 cm är rät.

Om längderna kommer från mätningar får kontrollen anpassas till mätosäkerheten. Nästan lika värden stödjer en ungefär rät vinkel, men bevisar inte en exakt rät vinkel.

En liksidig triangel har tre lika långa sidor och tre vinklar på $60^\circ$. Om alla sidor är 4 cm ger en jämförelse:

Det finns ingen rät vinkel och ingen hypotenusa. Därför kan du inte använda Pythagoras sats för att beräkna en sida direkt i den triangeln.

En skiss som ser rätvinklig ut räcker inte som villkor. Leta efter en rätvinkelmarkering, en uppgift om vinkelräta sidor eller ett samband som visar att vinkeln är rät.

En triangel har exakta sidlängder 6 dm, 8 dm och 10 dm. Är triangeln rätvinklig, och var finns i så fall den räta vinkeln? Försök själv innan du läser kontrollen.

Ja. De två kortare sidornas kvadrater summeras till den längsta sidans kvadrat. Omvändningen ger därför en rät vinkel mellan sidorna 6 dm och 8 dm. Sidan 10 dm är hypotenusan.

Om någon i stället skriver $6^2+10^2=8^2$ har hypotenusan hamnat på fel plats. Bestäm alltid den längsta sidan före kontrollen.