Grafer och värden

Grafen är en parabel som är symmetrisk kring y-axeln: x och −x ger samma y. Alla reella x är tillåtna och värdemängden är y ≥ 0. Det enda nollstället är x = 0; där når grafen sin lägsta punkt.

Värdet minskar på den negativa sidan när x närmar sig noll och ökar på den positiva sidan. En jämn exponent betyder alltså inte att grafen stiger överallt. Tabellen visar några punkter på en sammanhängande böjd graf.

Tre är en udda heltalsexponent. Negativa x ger negativa y och positiva x ger positiva y. Alla reella x och y förekommer. Grafen stiger från vänster till höger och passerar origo, sitt enda nollställe.

Jämför med kvadratgrafen: där speglas punkterna i y-axeln. Kubikgrafen är i stället symmetrisk kring origo. Om punkten $(2,8)$ finns på grafen finns också $(-2,-8)$. Reglerna om jämnt och udda gäller heltalsexponenter; ½ är varken jämnt eller udda.

Vid samma x är värdet för 2x² dubbelt så stort som för x². Den streckade kurvan visar 2x². Ett minus framför hela funktionen byter tecken på varje y-värde och speglar grafen i x-axeln.

Alla tre har nollstället x = 0. Med negativ C öppnar parabeln nedåt och har y ≤ 0. Koefficienten flyttar inte grafen i sidled. För kubikfunktionen gör ett negativt C i stället grafen fallande från vänster till höger.

Positiva x ger positiva y och negativa x ger negativa y. Grafens två grenar får inte bindas ihop genom x = 0, där funktionen saknar värde. Grafen skär inte heller x-axeln: ett genom ett tillåtet x kan aldrig bli noll.

Definitionsmängden är alla reella tal utom noll; samma sak gäller värdemängden. När positiva x blir större närmar sig y noll men är fortfarande positivt. I en modell av restid används bara den positiva grenen.

Vi arbetar med reella tal, så x måste vara minst noll. Kvadratroten är det icke-negativa tal vars kvadrat är x. Därför är y också minst noll. Grafen börjar i origo och stiger, men blir flackare åt höger.

Vanlig miss: $\sqrt4=2$ har ett värde, inte ±2. Däremot har ekvationen $y^2=4$ två lösningar. Därför är också $\sqrt{x^2}=|x|$: vid x = −3 blir resultatet 3, inte −3. Absolutbeloppet anger talets avstånd till noll.

Vilka av de tre påståendena stämmer? Motivera innan du läser svaren.

Det första är falskt. Punkten är $(-3,-9)$. Kvadraten beräknas före minustecknet framför potensen; grafen ligger på eller under x-axeln.

Det andra är falskt. x = 0 är inte ens tillåtet i $y=2/x$. Funktionen saknar nollställen eftersom täljaren 2 aldrig är noll. Ett förbjudet invärde är inte ett nollställe.

Det tredje stämmer. x = 4 är tillåtet och ger exakt y = 2. Punkten $(4,-2)$ ligger däremot inte på grafen, eftersom kvadratrotsfunktionen alltid väljer det icke-negativa värdet.