Potensfunktionens form

Detta är formen för en potensfunktion. x är invärdet och basen i potensen. Koefficienten C och exponenten n är fasta tal för just den funktionen. Exempelvis har $y=3x^2$ koefficienten 3 och exponenten 2.

I den första formeln väljer du basen x och kvadrerar den: en potensfunktion. I den andra är basen alltid 2 och du väljer exponenten x: en exponentialfunktion. Leta alltså efter var x står, inte bara efter en upphöjd siffra.

Potensfunktioner omfattar också $y=5x=5x^1$. Den är samtidigt linjär och proportionell. Olika funktionsfamiljer kan alltså överlappa.

Beräkna värdet av $f(x)=-2x^3$ när x = −2. Sätt det negativa invärdet inom parentes. Gör sedan potensen före multiplikationen:

Här är C = −2 och n = 3. Minustecknet i koefficienten är en del av faktorn utanför potensen. När x = 1 får vi $f(1)=-2\cdot1^3=-2=C$. C är alltså värdet vid x = 1, inte i allmänhet ett startvärde vid x = 0.

Vanlig miss: att upphöja koefficienten också. Vid x = 2 är $3\cdot2^2=12$ medan $(3\cdot2)^2=36$. En parentes runt hela produkten ändrar betydelsen.

En kvadrat med sidan s cm har arean A cm². En kub med kanten s cm har volymen V cm³. Här är s positivt och formerna behålls när storleken ändras:

Dubbelt så lång sida ger fyra gånger så stor area och åtta gånger så stor volym. Exponenten räknar här hur många längdmått som multipliceras: två för area och tre för volym. Bara sambandet med exponenten 1 skulle ge dubbelt utvärde när invärdet fördubblas.

En resa är 120 km lång. Anta konstant hastighet v km/h och inga pauser. Restiden t i timmar är sträckan delad med hastigheten:

Dubbla hastigheten halverar tiden: från 3 timmar till 1,5 timmar. Sambandet är omvänt proportionellt. Produkten $vt=120$ är konstant.

Exponentens minus gör inte tiden negativ. Det betyder att variabeln hamnar i nämnaren. Noll är förbjudet eftersom division med noll saknar värde. Negativ hastighet ingår inte i denna modell av restid.

För positiva x kan potenslagen för en produkt visa vad som händer vid en fördubbling. Både x och 2x måste ingå i den tillåtna definitionsmängden:

Exponenten ½ betyder kvadratrot: $x^{1/2}=\sqrt{x}$. Om x fyrdubblas blir kvadratroten dubbelt så stor, eftersom $\sqrt{4x}=2\sqrt{x}$ för x ≥ 0. Samma C används före och efter förändringen.

Vilken är en potensfunktion? Beräkna båda värdena vid x = 2. Vad händer med potensfunktionens värde om x sedan fördubblas från 2 till 4? Försök själv först.

Kontroll: f är potensfunktionen eftersom x är bas och exponenten 3 är fast. g är exponentialfunktionen eftersom x står i exponenten. Koefficienten är 4 i båda formlerna, men det gör inte funktionerna lika.

Fördubblat x ger faktorn $2^3=8$ på f. Regeln gäller en multiplikation av invärdet. Den säger inte att varje ökning med en enhet ger samma faktor.