Lektion 2 av 2

Beräkna och uppskatta

Målet med lektionen

Beräkna enkla rotuttryck, uppskatta mellan kända kvadrater och skilja exakta svar från närmevärden.

6 avsnittCirka 3 min läsning5 exempel

Kända kvadrater är dina hållpunkter

Förklaring

Alla kvadratrötter blir inte heltal. Börja med att hitta två kvadrater på var sin sida om talet under roten. Några bra tal att känna igen är:

\begin{array}{c|rrrrrr}n&0&1&2&3&4&5\\[1.22em]\hline n^2&0&1&4&9&16&25\end{array}

\begin{array}{c|rrrrr}n&6&7&8&9&10\\[1.22em]\hline n^2&36&49&64&81&100\end{array}

För icke-negativa tal följer kvadraterna samma storleksordning som talen. Om ett tal ligger mellan 16 och 25 ligger dess kvadratrot mellan 4 och 5.

16<20<25\quad\Rightarrow\quad4<\sqrt{20}<5

Placera roten utan miniräknare

Exempel

Mellan vilka heltal ligger kvadratroten ur 30?

Hitta närmaste kvadrat under 30: $5^2=25$ .
Hitta nästa kvadrat över 30: $6^2=36$ .
Dra slutsatsen att roten måste ligga mellan 5 och 6.

25<30<36\quad\Rightarrow\quad5<\sqrt{30}<6

Är roten närmare 5 eller 6? Testa mitten, 5,5. Eftersom dess kvadrat är större än 30 är roten mindre än 5,5, alltså närmare 5.

5{,}5^2=30{,}25>30\quad\Rightarrow\quad\sqrt{30}<5{,}5

Zooma in med decimaler

Exempel

Kvadratroten ur 7 ligger mellan 2 och 3. Vill du komma närmare? Prova två decimalvärden och kvadrera dem.

2{,}6^2=6{,}76\qquad2{,}7^2=7{,}29

2{,}6<\sqrt7<2{,}7

Vi kan zooma in igen. 2,64 i kvadrat är lite för litet och 2,65 i kvadrat är lite för stort.

2{,}64^2=6{,}9696\qquad2{,}65^2=7{,}0225

2{,}64<\sqrt7<2{,}65

Miniräknaren ger fler siffror. Till två decimaler blir svaret 2,65. Skriv ungefärstecken, eftersom decimalvärdet är avrundat.

\sqrt7=2{,}645751\ldots\approx2{,}65

Exakt svar utan lång decimalrad

Exempel

Ett rotuttryck kan vara ett färdigt, exakt svar. Ibland går det att förenkla. Leta efter en faktor som är en kvadrat.

\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2

Vi valde 36 eftersom dess kvadratrot är 6. Tvåan får vara kvar under rottecknet. Skrivsättet betyder sex gånger kvadratroten ur två.

(6\sqrt2)^2=36\cdot2=72

Kontrollen ger 72 och vårt svar är positivt. Då har vi rätt rot. Ett decimaltal blir i stället ett närmevärde:

\sqrt{72}=6\sqrt2\approx8{,}49

Behåll det exakta rotuttrycket i fortsatta beräkningar och avrunda först när du skriver slutsvaret.

Rötter av små tal

Exempel

En kvadratrot måste inte vara ett heltal eller större än ett. Testa vad som händer med bråk och decimaltal.

\sqrt{0{,}81}=\sqrt{\frac{81}{100}}=\frac9{10}=0{,}9

\sqrt{\frac14}=\frac12

Kontrollera: 0,9 gånger 0,9 är 0,81. En halv gånger en halv är en fjärdedel. Lägg märke till att roten här är större än talet under roten! För tal mellan 0 och 1 blir det så.

Vanlig miss: $\sqrt{0{,}81}=0{,}09$ . Kvadrera det föreslagna svaret så avslöjas felet direkt:

0{,}09^2=0{,}0081\ne0{,}81

Snabbkoll: välj och förklara

Exempel

Mellan vilka två heltal ligger $\sqrt{50}$ ?
En kvadratisk spelplan har arean 12 kvadratmeter. Ange sidan exakt och med en decimal.
Stämmer $\sqrt{100+44}=10+\sqrt{44}$ ? Beräkna vänsterledet och förklara.

49<50<64\quad\Rightarrow\quad7<\sqrt{50}<8

Första svaret följer av att 7 i kvadrat är 49 och 8 i kvadrat är 64. Spelplanens sida får du genom att ta roten ur arean:

s=\sqrt{12}\text{ m}=2\sqrt3\text{ m}\approx3{,}5\text{ m}

Rotuttrycken är exakta. 3,5 meter är avrundat och ger därför inte exakt 12 kvadratmeter när du kvadrerar. Sista påståendet är fel:

\sqrt{100+44}=\sqrt{144}=12

Du måste först räkna summan under rottecknet. Den föreslagna uppdelningen ger ett värde större än 16, eftersom roten ur 44 är större än 6. Det kan inte vara samma som 12.

Testa dig själv

Roten, kvadraten och tecknet

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

Vilket påstående jämför $\sqrt{9+16}$ med $\sqrt9+\sqrt{16}$ korrekt?

Uttrycken är lika eftersom roten kan tas på varje term för sig.Det första uttrycket är

\displaystyle 5

och det andra är

\displaystyle 7

.Det första uttrycket är

\displaystyle 7

och det andra är

\displaystyle 5

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…

Kända kvadrater är dina hållpunkter

Placera roten utan miniräknare

Zooma in med decimaler

Exakt svar utan lång decimalrad

Rötter av små tal

Snabbkoll: välj och förklara

Roten, kvadraten och tecknet

Vilket påstående jämför 9+16\sqrt{9+16}9+16​ med 9+16\sqrt9+\sqrt{16}9​+16​ korrekt?

Roten, kvadraten och tecknet

Vilket påstående jämför 9+16\sqrt{9+16}9+16​ med 9+16\sqrt9+\sqrt{16}9​+16​ korrekt?

Vilket påstående jämför $\sqrt{9+16}$ med $\sqrt9+\sqrt{16}$ korrekt?

Vilket påstående jämför $\sqrt{9+16}$ med $\sqrt9+\sqrt{16}$ korrekt?