Konstant förändringsfaktor

Tänk dig att ett värde ökar med 10 % per dygn. Varje nytt dygn multipliceras det senaste värdet med 1,10. Efter tre dygn har faktorn använts tre gånger:

När förändringsfaktorn är densamma för varje lika stort steg får vi en exponentialmodell:

C är startvärdet, a är förändringsfaktorn och x anger hur många tidsenheter som har gått. Om x mäts i dygn måste a vara faktorn per dygn. I våra modeller är både C och a positiva. Variabeln x står i exponenten.

Vid start har ingen förändring hunnit ske. Därför ligger punkten $(0,C)$ på grafen. Faktorn avgör sedan riktningen:

Om du dubblar C och behåller a, blir alla y-värden dubbelt så stora. Den procentuella förändringen per steg är fortfarande densamma. Med C > 0 och a > 0 är alla modellens y-värden positiva.

En odling täcker från början 200 cm². Under en kort period antar vi att den täckta arean ökar med 10 % per dygn. Med x i dygn och y i cm² blir modellen:

Efter tre dygn ger modellen arean 266,2 cm². Ökningarna är 20, 22 och 24,2 cm². De växer eftersom 10 % tas av en allt större area. Samma procent betyder alltså inte samma antal cm².

En tank innehåller från början 800 gram av ett ämne. Under rening minskar mängden enligt en modell med 25 % per timme. Då återstår 75 % efter varje timme:

Här är x tiden i timmar och y mängden i gram. Efter tre timmar får vi:

Modellen ger 337,5 gram kvar. Stegvis blir mängden 800 → 600 → 450 → 337,5 gram. Den minskar först med 200 gram, sedan med 150 gram och därefter med 112,5 gram. Att dra bort 200 gram varje timme skulle beskriva en annan modell.

Båda kurvorna går genom $(0,100)$. Den stigande, heldragna kurvan har faktorn 1,5: en ökning med 50 % per steg. Den fallande, streckade kurvan har faktorn 0,5: en minskning med 50 % per steg.

Den fallande kurvan närmar sig x-axeln när x ökar men når aldrig noll i modellen. Om faktorn i stället vore 1 skulle grafen vara den vågräta linjen y = 100. Här visas bara intervallet från x = 0 till x = 4.

Ett värde börjar på 500 och ökar med 6 % per steg. Skriv modellen och beräkna värdet efter två steg. Försök innan du läser vidare.

Kontroll: det nya värdet är 106 % av det gamla. Faktorn är därför 1,06. Med 0,06 skulle bara 6 % återstå, vilket betyder en minskning med 94 %. Stegvis blir värdena 500 → 530 → 561,8.

Om värdet i stället minskar med 6 % blir faktorn 0,94. Procenttalet beskriver förändringen; faktorn beskriver hela det nya värdet jämfört med det gamla.