Linjärt eller exponentiellt?

Jämför två modeller med samma startvärde. I modell A lägger vi till 20 per steg. I modell B ökar vi med 20 % per steg. Se till att stegen i x är lika stora när du jämför skillnader och kvoter.

A är linjär: skillnaden mellan följande y-värden är alltid 20. B är exponentiell: kvoten mellan ett nytt och ett föregående y-värde är alltid 1,20.

De första två värdena är samma i båda modellerna. Två mätpunkter räcker alltså inte för att avgöra vilken typ som beskriver en verklig situation bäst. Ett konstant positivt värde är ett specialfall som passar båda formerna, med k = 0 respektive a = 1.

En modell har startvärdet 200 och värdet 288 efter två timmar. Vi antar konstant förändringsfaktor och vill hitta faktorn per timme.

Vi väljer den positiva roten eftersom förändringsfaktorn ska vara positiv. Faktorn 1,20 betyder en ökning med 20 % per timme. Kontroll: $200\cdot1{,}20^2=288$.

Kvoten 1,44 gäller hela tvåtimmarsintervallet. Den betyder inte 44 % per timme, och 44 % delat på två ger inte heller den rätta timökningen. Faktorerna multipliceras: $1{,}20\cdot1{,}20=1{,}44$.

Mängden av ett ämne minskar enligt en modell med 10 % per timme. Efter två timmar finns 324 mg kvar. Hur stor var mängden vid start? Faktorn per timme är 0,90.

Startmängden var 400 mg enligt modellen. Kontroll framåt: 400 → 360 → 324 mg. När du räknar bakåt delar du med förändringsfaktorn för varje steg.

Att öka slutvärdet med 10 % två gånger ger inte startvärdet. En procentuell minskning och en lika stor procentuell ökning tar procent av olika värden.

En bild är 20 cm bred och förminskas till 80 % av sin bredd vid varje steg. Efter n förminskningar är bredden i cm:

Antalet förminskningar är ett heltal. Modellen är diskret: grafens relevanta punkter ligger vid hela n. Ett värde vid n = 1,5 beskriver inte ett faktiskt antal sådana steg.

Tid kan däremot variera kontinuerligt. Om en odlings tillväxt antas följa exponentialmodellen även mellan hela dygn, får vi använda till exempel x = 1,5 för ett och ett halvt dygn. Då beskriver en sammanhängande kurva antagandet.

Bestäm alltså först vad x betyder och vilka värden situationen tillåter. En ritad kurva innebär inte automatiskt att varje punkt motsvarar en möjlig observation.

Odlingen från förra lektionen börjar på 200 cm² och antas växa med 10 % per dygn. Anta nu att den bara kan täcka en yta på 500 cm². Efter tio dygn förutsäger modellen:

Det överstiger den tillgängliga ytan. Modellen kan därför inte fortsätta gälla med samma faktor under hela perioden. Tillväxten måste ändras när utrymmet tar slut.

En formel kan stämma med några mätvärden utan att beskriva utvecklingen för all framtid. Ändrade villkor kan ändra både förändringen och modellens användbarhet.

Vid tre mätningar med en timmes mellanrum är mängderna 300, 270 och 243 gram. Låt x = 0 vid den första mätningen. Vilken enkel modell passar värdena, och vad förutsäger den vid x = 3? Försök först själv.

Skillnaderna är olika, så en linjär modell med konstant minskning passar inte alla tre värdena. Kvoterna är däremot lika:

En exponentiell modell med 10 % minskning per timme passar. Den förutsäger 218,7 gram efter tre timmar, om samma faktor fortsätter att gälla. Tre mätningar ger stöd för modellen, men garanterar inte nästa värde.