Visa lösningsmängden

Om inget annat sägs låter vi x vara ett reellt tal. Då betyder $x<5$ alla tal mindre än 5, även negativa tal, bråk och decimaltal.

Alla lösningar tillsammans kallas lösningsmängden. Här bildar de ett intervall: en sammanhängande del av tallinjen. Det finns inget hopp mellan lösningarna.

Det finns inget största reellt tal som är mindre än 5. Talet 4,9 fungerar, men 4,99 är ännu större och fungerar också. Gränsen 5 är ändå inte en lösning.

Om x i stället måste vara ett heltal blir svaret annorlunda: det största heltalet mindre än 5 är 4. Kontrollera därför alltid vilka slags värden variabeln får ha.

Tallinjen blir större åt höger. Välj först gränsen, avgör om den ingår och markera sedan lösningarna åt rätt håll.

Sätt en pil i markeringens fortsatta riktning när det inte finns någon bortre gräns. En ensam punkt visar bara ett tal, inte ett helt intervall.

Kontrollera din bild med ett tal. För $x\le2$ ska exempelvis 0 ligga i det markerade området, medan 3 ska ligga utanför.

Ibland måste x uppfylla två villkor samtidigt. Det kan vara minst 2 men mindre än 5:

Läs från mitten: x är större än eller lika med 2 och mindre än 5. På tallinjen ritar du en fylld punkt vid 2, en öppen ring vid 5 och markerar bara sträckan mellan dem.

Tal som 2, 3,5 och 4,9 ingår. Talet 5 gör det inte. Det räcker inte att uppfylla ett av villkoren: 1 är mindre än 5 men inte minst 2.

Varje ändpunkt bedöms för sig. Om det i stället står $2\le x\le5$ ingår båda ändpunkterna.

Du betalar 30 kr i inträde och 18 kr per materialpåse. Du har högst 150 kr att använda. Låt n vara antalet påsar. Då måste n vara ett heltal som är minst noll.

Gränsen är $\frac{20}{3}=6+\frac23$ påsar. Du kan bara köpa hela påsar. Tillsammans med villkoret om antal får vi:

Du kan köpa högst 6 påsar. På tallinjen skulle du markera sju enskilda punkter, eftersom antalen mellan heltalen inte är tillåtna.

Sex påsar kostar totalt 138 kr och ryms i budgeten. Sju kostar 156 kr och gör det inte. Att avrunda gränsen till närmaste heltal skulle ge ett för dyrt köp.

En tank innehåller 120 liter vatten. En pump tömmer den med konstant 8 liter per minut. Hur länge kan pumpen gå om minst 40 liter ska finnas kvar? Låt t vara tiden i minuter från starten.

Tecknet vänds när vi dividerar med −8. Tid från starten kan inte vara negativ. Därför är hela svaret:

Pumpen kan gå i högst 10 minuter. Alla tider mellan 0 och 10 minuter fungerar, även exempelvis 2,5 minuter. På tallinjen är båda ändpunkterna fyllda och hela sträckan mellan dem markerad.

Efter 10 minuter återstår $120-8\cdot10=40$ liter, så gränsen ingår. Modellen förutsätter konstant flöde och gäller bara så länge vatten finns kvar; intervallet vi fick uppfyller det.

En tom låda väger 2 kg. Du ska lägga sand i den, men totalmassan måste vara mindre än 7 kg. Låt m vara sandens massa i kilogram. Skriv alla tillåtna värden och beskriv dem på tallinjen.

Förklaring: sandens massa kan inte vara negativ. Kravet på totalmassan ger:

Rita en fylld punkt vid 0, en öppen ring vid 5 och markera sträckan mellan dem. En tom låda är tillåten. Exakt 5 kg sand är inte tillåtet, eftersom totalmassan då blir 7 kg.

Kontroll: 4,9 kg sand ger 6,9 kg totalt och fungerar. Säg därför ”mindre än 5 kg sand”, inte ”högst 5 kg sand”. Det senare skulle även tillåta gränsen.