Lösa en olikhet

Du har högst 100 kr att handla för. Kostnaden får vara lägre än 100 kr eller exakt 100 kr. En olikhet beskriver sådana gränser.

Tecknets spets pekar mot det mindre värdet. Tecknen utan likhetsstreck kallas strikta. Ett likhetsstreck betyder att även likhet är tillåten.

En lösning är ett värde som gör olikheten sann. Vi söker alla sådana värden, inte bara ett exempel som fungerar.

Lös olikheten genom att först subtrahera 4 och sedan dividera med 3 i båda leden:

Addition och subtraktion med samma tal bevarar ordningen. Det gör också multiplikation och division med samma positiva tal. Därför pekar tecknet åt samma håll i alla tre stegen.

Svaret är alla reella tal mindre än 5. Kontrollera några värden i den ursprungliga olikheten:

Kontrollerna hjälper dig att upptäcka fel. Att alla tal mindre än 5 fungerar följer av de tillåtna omformningarna.

På tallinjen ligger 2 till vänster om 5. Multiplikation med −1 speglar båda talen i noll. Då ligger −2 till höger om −5: ordningen har vänt.

Ett annat negativt tal ger samma spegling och ändrar dessutom avståndet till noll. Därför måste du vända olikhetstecknet när du multiplicerar eller dividerar båda leden med ett negativt tal.

Likhetsstrecket följer med när riktningen vänds. Att två värden är lika ändras inte av att båda multipliceras med samma tal.

Lös $7-2x\le1$. Subtrahera först 7 i båda leden. Då behåller tecknet sin riktning:

Dividera sedan båda leden med −2. Nu vänds tecknet:

Kontrollera gränsen och ett värde på varje sida. För $x=3$ blir vänster led 1, så gränsen ingår. För $x=4$ blir det −1, vilket också är högst 1. För $x=2$ blir det 3, vilket är för stort.

Svaret är alltså alla tal från och med 3 och uppåt.

Vänd inte tecknet bara för att ett negativt tal finns med. Det avgörande är vilken operation du gör med båda leden.

Här subtraherar vi 6. Tecknet vänds inte, trots att höger led blir negativt.

Här dividerar vi med −1. Därför måste tecknet vändas. Multiplicera inte båda leden med noll för att lösa en olikhet: då försvinner informationen om x. Division med noll är inte tillåten.

Skriv hela olikheten som svar. $x<-5$ beskriver lösningarna, medan $x=-5$ felaktigt anger bara gränsen.

Lös själv först. I vilket steg, om något, behöver du vända tecknet?

Förklaring: multiplicera in 4, subtrahera 2x i båda leden och addera sedan 4.

Divisionen sker med positiva 2, så tecknet vänds inte. Gränsen 5 ingår inte: båda leden blir då 16. Med $x=6$ får du $20>18$, vilket stämmer.