Olikheter som intervall

För $2x+1<7-x$ söker vi var den gröna heldragna linjen ligger under den bruna streckade. Jämför alltid höjderna vid samma x-värde.

Till vänster om skärningen är grönt lägre: $x<2$. Till höger är grönt högre. Vid x = 2 är höjderna lika, så det värdet ingår inte.

Prövningarna bekräftar vilken sida som fungerar. Svaret är alla x mindre än 2, inte bara ett valt tal eller skärningspunkten.

Samma två linjer kan användas till fyra frågor. Skillnaden ligger i vilken graf som ska vara högre och om lika höjd är tillåten.

På en tallinje visar en öppen ring en utesluten gräns. En fylld punkt visar att gränsen ingår. Markera sedan hela intervallet åt rätt håll.

Lös $x^2<4$ genom att jämföra den gröna kurvan $y=x^2$ med den bruna streckade linjen $y=4$.

Skärningarna ger gränserna −2 och 2. Kurvan ligger under linjen mellan dem. Därför är svaret:

Kontroll: $0^2<4$ stämmer, men $3^2<4$ stämmer inte. Ändpunkterna ger likhet och ingår inte. För $x^2\le4$ blir svaret i stället $-2\le x\le2$. Punkterna i bilden markerar skärningarna; olikhetstecknet avgör om deras x-värden ingår.

En beställning kostar 30 kr i frakt och 18 kr per penna. Budgeten är 150 kr. Den gröna linjen visar kostnaden $y=30+18x$; den bruna streckade linjen visar budgeten.

Grafen ger en gräns mellan 6 och 7. Antalet köpta pennor måste vara ett positivt heltal. Tillåtna antal är därför 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Linjen hjälper oss jämföra, men delarna mellan heltalen är inga möjliga köp.

Högst 6 pennor ryms i budgeten. Avrunda inte gränsen till 7: då blir kostnaden 156 kr, vilket är för mycket.

En tank har 120 liter och töms med konstant 8 liter per minut. Efter t minuter finns $V(t)=120-8t$ liter kvar. Modellen gäller från starten tills tanken är tom, alltså $0\le t\le15$.

Minst 40 liter ska återstå. Sök därför var grafen för V ligger på eller över höjden 40. Gränsen fås där graferna möts:

Grafen sjunker, så kravet uppfylls fram till och med 10 minuter. Tillsammans med modellens tidsgränser blir svaret:

Även tider som 2,5 minuter är möjliga. Här är lösningen ett sammanhängande intervall, till skillnad från de enskilda antalen pennor.

Använd grafen med $y=x^2$ och $y=4$ igen. Lös $x^2\ge4$. Ingår ändpunkterna? Vad ändras om bara $x\ge0$ är tillåtet?

Förklaring: kurvan ligger på eller över linjen utanför området mellan skärningarna. Vi får två delar:

Båda gränserna ingår eftersom likhet är tillåten. Exempelvis ger x = −3 värdet 9 och fungerar. Talet 0 fungerar inte. Med extra villkoret $x\ge0$ återstår bara $x\ge2$.