Ekvationer som skärningar

För att lösa $2x+1=7-x$ ritar vi en graf för varje led. Den gröna heldragna linjen visar vänster led, den bruna streckade visar höger led.

Vid P har båda graferna samma höjd. Följ hjälplinjen till x-axeln: skärningen ser ut att ligga vid x = 2. Kontrollera värdet innan du anger ett exakt svar.

Sök x-koordinaten. Punktens y-koordinat talar om vad båda leden blir, men är inte lösningen på ekvationen.

Pröva x-värdet från grafen i båda leden:

Båda blir exakt 5. Lösningen är alltså $x=2$. Skärningspunkten är $(2,5)$. Skriv inte x = 5 eller hela punkten som ekvationens svar.

Även algebra bekräftar svaret:

Ekvationen $x^2-4=0$ kan lösas med en enda graf. Vi söker var $y=x^2-4$ når x-axeln, alltså där y är noll.

Nollställena är $x=-2$ och $x=2$. Båda är lösningar. Nollstället är x-värdet, inte höjden 0.

Jämför kurvan $y=x^2$ med olika vågräta linjer. Vi tillåter här alla reella x-värden.

Grafer kan också sammanfalla. Då gäller likheten för varje x där båda funktionerna är definierade. Två identiska linjer ger oändligt många lösningar.

En liten bild kan dölja skärningar. Ändra fönstret vid behov och använd funktionernas regler för att avgöra om du har hittat alla.

En kvadrat har arean 2 m². Om sidlängden är x meter får vi $x^2=2$. En längd måste vara positiv, så grafen visas bara för $x\ge0$.

Grön kurva: arean. Brun streckad linje: 2 m². Skärningen ger ungefär $x\approx1{,}4$. Kontrollen $1{,}4^2=1{,}96$ visar att avläsningen ligger nära, men inte är exakt.

Sidan är ungefär 1,4 m med en decimal. Ekvationen har även den negativa roten $-\sqrt2$, men den passar inte en längd. Behåll alltid bara x-värden som är tillåtna för båda funktionerna och för situationen.

Graferna $y=3x+2$ och $y=2x+6$ möts i $(4,14)$. Lös ekvationen $3x+2=2x+6$ och kontrollera ditt val.

Förklaring: välj punktens x-koordinat, alltså $x=4$. Insättning ger:

Talet 14 är båda ledens gemensamma värde. Om funktionerna bara var definierade för $0\le x\le3$ skulle ekvationen sakna lösning inom den definitionsmängden. Skärningen ligger då utanför det tillåtna området.