Skriva en generell regel

En generell regel låter dig beräkna värdet på vilken tillåten position som helst. Vi skriver positionen som n, där $n=1,2,3,\ldots$. Då är $a_1$ startvärdet.

Om differensen d är densamma vid varje steg gör du $n-1$ förändringar från den första positionen. Därför blir regeln:

Regeln är linjär i n. Talet d kan vara positivt, noll eller negativt. En negativ differens betyder att värdena minskar med samma mängd varje steg. Regeln gäller bara så länge den beskrivna förändringen fortsätter.

Återvänd till raden av tändstickskvadrater. Figur n innehåller n kvadrater. Första kvadraten kräver 4 stickor och de $n-1$ återstående kvadraterna kräver 3 nya stickor var.

Du kan också räkna hela figuren på en gång: n stickor längs ovansidan, n längs undersidan och $n+1$ lodräta stickor. Det ger samma regel:

Vi har räknat alla stickor exakt en gång. Därför gäller formeln för varje figur som byggs på det här sättet, inte bara de första figurerna i tabellen. Figur 20 behöver $3\cdot20+1=61$ stickor.

Efter vecka 1 har du sparat 50 kr. Varje följande vecka lägger du till 20 kr. Du tar inte ut några pengar och vi räknar utan ränta. Låt $a_n$ vara antalet kronor efter vecka n.

Efter vecka 12 har elva nya insättningar gjorts efter första veckan:

Du har då 270 kr. Kontrollera startvärdet också: $20\cdot1+30=50$. Talet 30 i den förenklade formeln är alltså inte beloppet efter första veckan.

I mönstret med fyllda plattkvadrater har figur n precis n rader och n plattor i varje rad. Antalet plattor är därför:

Figur 10 har $10^2=100$ plattor. Regeln är generell, men den är inte linjär: skillnaden mellan följande värden är inte konstant.

Välj alltså inte automatiskt en formel med en konstant ökning. Beskriv först vad figuren består av och varför ditt uttryck räknar allt.

Numreringen spelar roll. Här börjar alla mönster på position 1. Om en annan uppgift börjar på position 0 måste formeln anpassas till det startvärdet.

Första figuren har 7 pärlor. Varje ny figur får exakt 5 fler pärlor. Skriv en generell regel för antalet pärlor i figur n och beräkna antalet i figur 10.

Förklaringen är 7 pärlor från början och $n-1$ tillägg med 5 pärlor i varje. För tionde figuren blir det:

Figur 10 har 52 pärlor. Regeln ger också $a_1=7$ och $a_2=12$. De kontrollerna fångar räknefel; beskrivningen av de lika stora tilläggen motiverar regeln för alla positiva heltal n.