Lektion 2 av 2

Beräkningar med tiopotenser

Målet med lektionen

Utföra och rimlighetskontrollera beräkningar.

6 avsnittCirka 3 min läsning4 exempel

Räkna siffror och skala var för sig

Förklaring

Vid multiplikation och division kan du hantera faktorerna först och tiopotenserna sedan. Potenserna har samma bas, 10, så potenslagarna gäller.

(a\cdot10^m)(b\cdot10^n)=(ab)\cdot10^{m+n}

\frac{a\cdot10^m}{b\cdot10^n}=\frac{a}{b}\cdot10^{m-n},\qquad b\ne0

Här är exponenterna heltal. Kontrollera sedan faktorn i svaret: ibland behöver du justera den och exponenten för att få grundpotensform.

Vid addition och subtraktion skriver du först termerna med samma tiopotens. Då kan du addera eller subtrahera faktorerna och behålla den gemensamma tiopotensen.

Hur många bildpunkter?

Exempel

En spelbild har $4\cdot10^3$ kolumner och $6\cdot10^2$ rader. Antalet bildpunkter är antalet kolumner gånger antalet rader.

(4\cdot10^3)(6\cdot10^2)=(4\cdot6)\cdot10^{3+2}=24\cdot10^5

Faktorn 24 är för stor. Dela den med 10 och öka exponenten med 1:

24\cdot10^5=2{,}4\cdot10^6

Svar: $2{,}4\cdot10^6$ bildpunkter, alltså 2 400 000. Kontroll med vanliga tal: 4 000 gånger 600 ger 2 400 000. En miljonstor bild – rimligt!

Fart mellan två rymdstationer

Exempel

I spelet färdas ett skepp $7{,}2\cdot10^8\,\mathrm{m}$ på $2{,}4\cdot10^3\,\mathrm{s}$ . Medelfarten är sträckan delad med tiden.

v=\frac{7{,}2\cdot10^8}{2{,}4\cdot10^3}\,\mathrm{m/s}=\frac{7{,}2}{2{,}4}\cdot10^{8-3}\,\mathrm{m/s}

v=3\cdot10^5\,\mathrm{m/s}

Faktorn 3 ligger redan i rätt intervall. Svaret är 300 000 meter per sekund.

Kontrollera genom att multiplicera fart med tid:

(3\cdot10^5)(2{,}4\cdot10^3)\,\mathrm{m}=7{,}2\cdot10^8\,\mathrm{m}

Du får tillbaka sträckan, och enheten stämmer: meter per sekund gånger sekunder blir meter.

Två små längder blir en längre

Exempel

Två små delar läggs efter varandra. Längderna är $6\cdot10^{-5}\,\mathrm{m}$ och $2{,}5\cdot10^{-4}\,\mathrm{m}$ . Båda är i meter, men tiopotenserna skiljer sig.

Skriv först den kortare längden med samma tiopotens som den längre. Mellansteget behöver inte vara i grundpotensform:

6\cdot10^{-5}=0{,}6\cdot10^{-4}

0{,}6\cdot10^{-4}+2{,}5\cdot10^{-4}=(0{,}6+2{,}5)\cdot10^{-4}=3{,}1\cdot10^{-4}

Den totala längden är $3{,}1\cdot10^{-4}\,\mathrm{m}$ . Kontroll i decimalform: $0{,}00006+0{,}00025=0{,}00031$ . Summan är större än båda delarna men mindre än dubbla den längre delen, precis som väntat.

Tre fällor som kostar en tiopotens

Förklaring

Addera inte exponenterna vid addition. $2\cdot10^3+3\cdot10^3=5\cdot10^3$ eftersom två tusental plus tre tusental är fem tusental.
Subtrahera hela exponenten vid division. $\frac{10^2}{10^{-3}}=10^{2-(-3)}=10^5$ . Parenteser hjälper dig att se att minus minus blir plus.
Kontrollera formen även efter en korrekt beräkning. $0{,}2\cdot10^6=2\cdot10^5$ . Faktorn ökar tio gånger när exponenten minskar med ett.

På många räknare betyder $3{,}1\mathrm{E}{-4}$ samma sak som $3{,}1\cdot10^{-4}$ . Läs E som ”gånger tio upphöjt till” och gör ändå en rimlighetskontroll.

Din tur: välj rätt regel

Exempel

Räkna först själv och skriv svaren i grundpotensform. Vilken uppgift behöver gemensam tiopotens?

(3\cdot10^{-2})(4\cdot10^5)\qquad\frac{8\cdot10^{-3}}{2\cdot10^{-5}}\qquad5\cdot10^4-2\cdot10^3

$12\cdot10^3=1{,}2\cdot10^4$ . Multiplicera 3 med 4 och addera exponenterna. Normalisera sedan faktorn 12. Kontroll: 0,03 gånger 400 000 är 12 000.
$4\cdot10^{-3-(-5)}=4\cdot10^2$ . Dividera faktorerna och subtrahera exponenterna. Kvoten är 400; nämnaren ryms många gånger i täljaren.
$5\cdot10^4-0{,}2\cdot10^4=4{,}8\cdot10^4$ . Här behövs gemensam tiopotens. Kontroll: 50 000 minus 2 000 är 48 000.

Fråga dig till sist: har svaret rätt tecken, rimlig storlek och en faktor vars absolutbelopp ligger från 1 till mindre än 10? Då har du tre bra kontroller.

Testa dig själv

Har talet rätt värde och form?

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

Beräkna $(3{,}2\cdot10^4)(4\cdot10^{-3})$ . Vilket svar är korrekt och skrivet i grundpotensform?

\displaystyle 1{,}28\cdot10^1

\displaystyle 7{,}2\cdot10^1

\displaystyle 1{,}28\cdot10^2

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…

Räkna siffror och skala var för sig

Hur många bildpunkter?

Fart mellan två rymdstationer

Två små längder blir en längre

Tre fällor som kostar en tiopotens

Din tur: välj rätt regel

Har talet rätt värde och form?

Beräkna (3,2⋅104)(4⋅10−3)(3{,}2\cdot10^4)(4\cdot10^{-3})(3,2⋅104)(4⋅10−3). Vilket svar är korrekt och skrivet i grundpotensform?

Har talet rätt värde och form?

Beräkna (3,2⋅104)(4⋅10−3)(3{,}2\cdot10^4)(4\cdot10^{-3})(3,2⋅104)(4⋅10−3). Vilket svar är korrekt och skrivet i grundpotensform?

Beräkna $(3{,}2\cdot10^4)(4\cdot10^{-3})$ . Vilket svar är korrekt och skrivet i grundpotensform?

Beräkna $(3{,}2\cdot10^4)(4\cdot10^{-3})$ . Vilket svar är korrekt och skrivet i grundpotensform?