Teori och försök

Kasta en vanlig sexsidig tärning. Du vet vilka resultat som är möjliga, men inte vilket som kommer nästa gång. Det är ett slumpförsök.

Vi antar att tärningen är rättvis: varje sida är lika sannolik. Det är ett antagande i vår matematiska modell.

P(A) läses ”sannolikheten för händelsen A”. Noll betyder omöjligt och ett betyder säkert i den här modellen. En halv motsvarar 50 procent.

Hur stor är sannolikheten för ett tal större än 4 med en rättvis sexsidig tärning? Utfallen 5 och 6 passar: två gynnsamma av sex möjliga. ”Gynnsamt” betyder här att utfallet uppfyller frågan, inte att det måste vara något bra.

Den här regeln fungerar när alla utfall du räknar är lika sannolika. Nämnaren innehåller alla möjliga utfall, även de som inte passar frågan.

Jämför: ”minst 4” innehåller även fyran. Då blir sannolikheten $3/6=1/2=50\,\%$. Ett litet ord kan ändra svaret!

En påse innehåller tre röda kulor och en blå. Kulorna är likadana förutom färgen. Du blandar och drar en utan att titta. Vi antar att varje kula har samma chans att väljas.

Färgerna är två möjliga resultat, men de är inte lika sannolika. Räkna de fyra lika sannolika kulorna i stället för de två färgerna.

Samma kontroll behövs för ett lyckohjul. Två färger ger bara samma chans om de täcker lika stora delar av hjulet och hjulets stoppvinkel är jämnt fördelad.

Teoretisk sannolikhet kommer från en modell. För ett rättvist mynt är sannolikheten för krona en halv. Experimentell sannolikhet uppskattas med den relativa frekvensen: andelen försök där händelsen inträffade.

48 procent beskriver just de 100 kasten. Det bevisar inte att myntets sannolikhet är exakt 48 procent eller att modellen med 50 procent är fel.

Vid många oberoende kast med samma rättvisa mynt brukar den relativa frekvensen hamna nära en halv. Den behöver inte komma närmare efter varje nytt kast, och exakt hälften är aldrig garanterat för ett bestämt antal kast.

Fem kronor i rad? Nästa kast har fortfarande sannolikheten en halv för krona, om kasten är oberoende. Myntet kommer inte ihåg tidigare resultat.

Om stora försöksserier gång på gång avviker mycket från modellen kan du behöva granska myntet eller hur försöket genomförs.

I en påse ligger fem gröna och sju vita likadana kulor. Du drar slumpmässigt en kula, lägger tillbaka den och blandar inför nästa dragning. Varje kula antas ha samma chans.

Vad säger modellen om grönt? Och vad säger ett försök där det blev grönt 18 av 40 gånger? Tänk själv innan du läser vidare.

Båda beräkningarna är rätt, men de beskriver olika saker. Den första använder påsens innehåll. Den andra beskriver resultaten i 40 försök. Skillnaden kan bero på slumpvariation.

Återläggningen gör att påsen har samma innehåll vid varje ny dragning. Utan återläggning behöver modellen ändras efter varje dragen kula.