Lektion 2 av 2

Komplementhändelser

Målet med lektionen

Beräkna sannolikheten att en händelse inte inträffar.

6 avsnittCirka 3 min läsning4 exempel

Allt som inte hör till händelsen

Förklaring

Välj en händelse A. Varje möjligt resultat hör antingen till A eller till ”inte A”. Ingen möjlighet får saknas och ingen får finnas i båda grupperna. ”Inte A” kallas komplementhändelsen.

P(A)+P(\text{inte }A)=1

P(\text{inte }A)=1-P(A)

Hela sannolikheten är 1, alltså 100 procent. Ta bort den del du känner till för att få resten. Regeln kräver inte lika sannolika utfall.

P(A)=0{,}3\quad\Rightarrow\quad P(\text{inte }A)=1-0{,}3=0{,}7

Du kan också räkna med procent: 100 procent minus 30 procent är 70 procent. Blanda inte 1 och 30 i samma subtraktion.

Slå allt utom en sexa

Exempel

Vad är sannolikheten att inte slå en sexa med en rättvis sexsidig tärning? Komplementet till ”sexa” innehåller 1, 2, 3, 4 och 5.

P(\text{inte sexa})=1-P(\text{sexa})

1-\frac16=\frac66-\frac16=\frac56\approx83{,}3\,\%

Kontrollera genom att räkna direkt: fem av sex lika sannolika utfall passar. Samma svar!

Det är ofta snabbare att räkna det som inte ska hända, särskilt när den gruppen innehåller färre utfall.

Inte röd kan vara flera färger

Exempel

En påse innehåller fem röda, tre blå och två gula likadana kulor. Varje kula är lika sannolik att dras. Vad betyder ”inte röd”?

Händelse	Kulor som räknas	Antal
Röd	Alla röda	5
Inte röd	Alla blå och gula	3 + 2 = 5

Dela alla tio kulor i två grupper.

P(\text{inte röd})=1-\frac5{10}=\frac5{10}=50\,\%

Vanlig miss: att bara räkna blått. Då saknas de gula kulorna. Komplementet måste innehålla alla utfall utanför händelsen.

Blått och rött är alltså inte komplement till varandra i den här påsen. Det finns en tredje möjlighet.

Orden vid gränsen spelar roll

Förklaring

Vid ett tärningskast betyder ”minst 4” att fyran är med. Om det inte händer måste resultatet vara mindre än 4.

Händelse	Komplement
Minst 4: 4, 5, 6	Mindre än 4: 1, 2, 3
Större än 4: 5, 6	Högst 4: 1, 2, 3, 4
Jämnt: 2, 4, 6	Udda: 1, 3, 5

Komplement vid ett kast med en sexsidig tärning.

”Minst” inkluderar gränsen, precis som ”högst”. ”Större än” och ”mindre än” gör det inte.

Skriv gärna utfallen i två listor när du tvekar. Finns varje möjligt utfall med exakt en gång? Då har du ett händelsepar som är komplement.

Från omöjligt till säkert

Exempel

En vanlig tärning har inget utfall 7. Att slå en sjua är omöjligt. Att inte slå en sjua är därför säkert.

P(\text{sjua})=0\qquad P(\text{inte sjua})=1-0=1

Att slå ett tal från 1 till 6 är säkert i modellen. Komplementet, att slå ett tal utanför den mängden, är omöjligt.

P(\text{tal från }1\text{ till }6)=1

P(\text{tal utanför})=1-1=0

Rimlighetskoll: en sannolikhet kan aldrig vara negativ eller större än 1. Får du 120 procent eller −20 procent behöver du kontrollera beräkningen eller tolkningen.

Din tur: hitta resten i en kontroll

Exempel

I en kontroll godkänns 194 av 200 tillverkade delar. Varje del får exakt ett av två resultat: godkänd eller underkänd. Vilken andel underkänns? Räkna gärna på två sätt.

\text{andel godkända}=\frac{194}{200}=0{,}97

\text{andel underkända}=1-0{,}97=0{,}03=3\,\%

\frac{200-194}{200}=\frac6{200}=3\,\%

3 procent är den observerade andelen i kontrollen. Om delarna representerar tillverkningen och villkoren är oförändrade kan den användas som en uppskattning av sannolikheten att en ny del underkänns. Det är ingen garanti om nästa del.

Extra koll: om några delar även kunde få resultatet ”ej bedömd”, skulle ”underkänd” ensam vara komplementet till ”godkänd”? Nej. Även ”ej bedömd” skulle behöva räknas med.

Testa dig själv

Testa sannolikheten

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

En påse innehåller 3 röda och 7 blå kulor. Alla kulor har samma chans att bli dragna. Vad är sannolikheten att kulan inte är röd?

\displaystyle \frac{3}{10}

\displaystyle \frac{7}{3}

\displaystyle 1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…