Räkna med vektorer

”Gå 4 meter” säger hur långt. ”Gå 4 meter österut” säger också åt vilket håll. En sådan förflyttning kan beskrivas med en vektor, ritad som en pil.

Vi skriver $\vec u$ för vektorn och $|\vec u|$ för dess längd. Välj en skala när du ritar, till exempel 1 cm på papperet för 1 m i verkligheten.

Två pilar beskriver samma fria vektor om de är lika långa och pekar åt samma håll. Du får flytta pilen, men inte vrida eller förlänga den. En punkt beskriver däremot en bestämd plats. Samma förflyttning från två olika startpunkter slutar på två olika platser.

Vektorer används också för exempelvis hastighet och kraft. Då visar pilens längd storleken enligt en vald skala, medan enheten kan vara m/s eller newton.

Du går 3 m åt höger och sedan 2 m uppåt på en karta. Kalla förflyttningarna $\vec u$ och $\vec v$. Flytta den andra pilens start till den förstas spets. Summan går från den första starten till den sista spetsen.

Den sneda pilen visar den sammanlagda förflyttningen: 3 m åt höger och 2 m uppåt. Du har gått en sträcka på 5 m, men avståndet rakt från start till mål är kortare. Summans längd är alltså inte alltid summan av längderna.

Om du gör förflyttningarna i omvänd ordning hamnar du på samma plats. Därför gäller $\vec u+\vec v=\vec v+\vec u$.

Vektorn $-\vec v$ är lika lång som $\vec v$ men pekar åt motsatt håll. Att subtrahera en vektor betyder att addera dess motsatta vektor.

Om $\vec u$ är 3 m åt höger och $\vec v$ är 2 m uppåt, ger $\vec u-\vec v$ i stället 3 m åt höger och 2 m nedåt. Vänd bara vektorn som subtraheras, inte båda.

Ett vanligt tal kallas här en skalär. Om $\vec u$ är 2 m österut kan vi multiplicera den med ett tal:

För en vektor som inte är noll behåller ett positivt k riktningen och ett negativt k vänder den. Absolutbeloppet av k bestämmer längdfaktorn. En vektorlängd blir aldrig negativ.

En robot kör först 5 m österut och sedan 3 m västerut. Den totala förflyttningen är 2 m österut, trots att roboten har kört 8 m. Vektorsumman visar ändringen av plats.

Om roboten sedan kör 2 m västerut är den tillbaka vid starten. Den totala förflyttningen blir nollvektorn. En vektor och dess motsatta tar ut varandra:

Låt $\vec a$ vara 4 m åt höger och $\vec b$ vara 3 m uppåt. Rita $\vec a-\vec b$ och $-\frac12\vec a$. Vilket håll pekar varje svar åt? Försök själv först.

Kontroll av subtraktionen: $-\vec b$ pekar 3 m nedåt. Efter 4 m åt höger och 3 m nedåt går resultatpilen snett nedåt åt höger, från första start till sista spets.

Kontroll av multiplikationen: faktorn en halv halverar längden till 2 m. Minustecknet vänder riktningen åt vänster. Svaret är alltså en pil 2 m åt vänster.

Blir $\vec b-\vec a$ samma vektor som $\vec a-\vec b$? Nej, den går 4 m åt vänster och 3 m uppåt, alltså i motsatt riktning. Ordningen spelar roll vid subtraktion.