Lektion 2 av 2

Komponenter och längd

Målet med lektionen

Beräkna komponenter och vektorlängd.

6 avsnittCirka 3 min läsning4 exempel

Två tal beskriver förflyttningen

Förklaring

I ett vanligt koordinatsystem är positiv x-led åt höger och positiv y-led uppåt. Vektorns komponenter anger hur mycket du flyttar dig i varje led. Vi skriver dem i ordningen x, sedan y:

\vec u=(3,-2)

Det betyder 3 enheter åt höger och 2 nedåt. Minustecknet anger riktningen i y-led. Samma vektor kan delas upp i en vågrät och en lodrät vektor, som kallas komposanter:

(3,-2)=(3,0)+(0,-2)

Punkten $P=(3,-2)$ är en plats. Vektorn $\vec u=(3,-2)$ är en förflyttning. Bara om pilen börjar i origo är dess komponenter samma tal som spetsens koordinater.

Från två punkter till en vektor

Exempel

En pil börjar i $A=(1,2)$ och slutar i $B=(5,-1)$ . Hur mycket ändras varje koordinat? Ta slutvärdet minus startvärdet.

\overrightarrow{AB}=(5-1,\,-1-2)=(4,-3)

Pilen går 4 enheter åt höger och 3 nedåt. Det stämmer med komponenterna. På tillbakavägen byter båda komponenterna tecken:

\overrightarrow{BA}=(1-5,\,2-(-1))=(-4,3)=-\overrightarrow{AB}

Räkna en riktning i taget

Exempel

Räkna med x-komponenterna för sig och y-komponenterna för sig. Låt $\vec u=(4,-3)$ och $\vec v=(-1,2)$ .

\vec u+\vec v=(4+(-1),\,-3+2)=(3,-1)

\vec u-\vec v=(4-(-1),\,-3-2)=(5,-5)

Vid subtraktion ska båda komponenterna i den andra vektorn subtraheras. Här blir $-\vec v=(1,-2)$ . Ett tal framför en vektor multipliceras med båda komponenterna:

-2\vec u=(-2\cdot4,\,-2\cdot(-3))=(-8,6)

Använd samma koordinatsystem och samma enheter för vektorer som du adderar. Då motsvarar beräkningen precis pilarnas förflyttningar.

Pythagoras ger pilens längd

Förklaring

Den vågräta och lodräta förflyttningen bildar kateter i en rätvinklig triangel. Vektorn är hypotenusan. Om axlarna är vinkelräta och komponenterna använder samma enhet ger Pythagoras:

|\vec u|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}

För vektorn mellan A och B i bilden är katetlängderna 4 och 3. Den negativa y-komponenten anger riktningen nedåt, men katetens längd är positiv.

|(4,-3)|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=5

Pilens längd är 5 längdenheter. Om komponenterna anger meter är längden 5 m. Kvadreringen tar bort komponenternas tecken, men skriv parenteser runt negativa tal när du räknar.

|(1,1)|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\approx1{,}41

Längden är inte alltid ett heltal. Rotuttrycket är exakt; decimalvärdet här är avrundat till två decimaler.

Samma enhet i båda leden

Exempel

En liten robot flyttas 30 cm åt höger och 0,40 m uppåt. Skriv båda komponenterna i meter innan du använder längdformeln. Vi räknar med uppgiftens givna mått.

\vec s=(0{,}30,\,0{,}40)\,\mathrm{m}

|\vec s|=\sqrt{0{,}30^2+0{,}40^2}\,\mathrm{m}=\sqrt{0{,}25}\,\mathrm{m}=0{,}50\,\mathrm{m}

Robotens förflyttning är 0,50 m lång. Enheten är meter, inte kvadratmeter: kvadratroten återför den kvadrerade enheten till längd.

Blanda inte 30 och 0,40 i samma längdformel när talen har olika enheter.
Längden av $(4,-3)$ är 5, inte $4-3=1$ . Komponenterna ska kvadreras, adderas och sedan rotas.
Om du flyttar en pil utan att vrida den ändras spetsens koordinater, men inte vektorns komponenter eller längd.

Din tur: från start till mål

Exempel

En förflyttning börjar i $C=(-2,1)$ och slutar i $D=(1,5)$ . Koordinaterna är i meter. Bestäm vektorn, dess längd och vektorn för tillbakavägen. Försök innan du läser kontrollen.

\overrightarrow{CD}=(1-(-2),\,5-1)\,\mathrm{m}=(3,4)\,\mathrm{m}

Slut minus start ger 3 m åt höger och 4 m uppåt. Pythagoras ger avståndet rakt mellan platserna:

|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{3^2+4^2}\,\mathrm{m}=5\,\mathrm{m}

\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}=(-3,-4)\,\mathrm{m}

Tillbakavägen är lika lång men går åt motsatt håll. Lägger du ihop utvägen och tillbakavägen blir båda komponenterna noll. Du är tillbaka vid startpunkten, så summan är nollvektorn.

Testa dig själv

Följ vektorns riktning

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

En vektor går från $A=(2;-1)$ till $B=(-1;3)$ . Vilka komponenter har $\overrightarrow{AB}$ ?

\displaystyle (-3;4)

\displaystyle (3;-4)

\displaystyle (1;2)

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…

Två tal beskriver förflyttningen

Från två punkter till en vektor

Räkna en riktning i taget

Pythagoras ger pilens längd

Samma enhet i båda leden

Din tur: från start till mål

Följ vektorns riktning

En vektor går från A=(2;−1)A=(2;-1)A=(2;−1) till B=(−1;3)B=(-1;3)B=(−1;3). Vilka komponenter har AB→\overrightarrow{AB}AB?

Följ vektorns riktning

En vektor går från A=(2;−1)A=(2;-1)A=(2;−1) till B=(−1;3)B=(-1;3)B=(−1;3). Vilka komponenter har AB→\overrightarrow{AB}AB?

En vektor går från $A=(2;-1)$ till $B=(-1;3)$ . Vilka komponenter har $\overrightarrow{AB}$ ?

En vektor går från $A=(2;-1)$ till $B=(-1;3)$ . Vilka komponenter har $\overrightarrow{AB}$ ?