Lektion 1 av 2

Position och bas

Målet med lektionen

Förklara en siffras värde utifrån position och bas.

6 avsnittCirka 3 min läsning3 exempel

När tar siffrorna slut?

Förklaring

I vårt vanliga tiosystem kommer 10 efter 9: entalsplatsen börjar om på noll och en ny position behövs. I bas fem händer samma sak efter 4. Basen bestämmer hur många olika siffror vi använder och när vi växlar till nästa position.

Bas tio använder siffrorna 0 till 9.
Bas fem använder siffrorna 0, 1, 2, 3 och 4.
Bas två, det binära systemet, använder bara 0 och 1.

10_2=2_{10},\qquad10_5=5_{10},\qquad10_{10}=10

Den lilla nedsänkta siffran anger basen. Läs $10_5$ som ”ett noll i bas fem”. Utan basangivelse menar vi här bas tio. Skrivsättet 10 betyder en grupp av basens storlek och inga ental.

Platserna är potenser av basen

Förklaring

Börja längst till höger med exponenten noll. Varje steg åt vänster multiplicerar platsvärdet med basen. Siffran talar om hur många av just den sortens grupper som finns.

Bas	Fjärde från höger	Tredje från höger	Andra från höger	Längst till höger
2	$2^3=8$	$2^2=4$	$2^1=2$	$2^0=1$
5	$5^3=125$	$5^2=25$	$5^1=5$	$5^0=1$
10	$10^3=1\,000$	$10^2=100$	$10^1=10$	$10^0=1$

Fyra heltalspositioner, från vänster till höger.

Längst till höger finns alltså entalsplatsen i alla dessa baser. För ett tresiffrigt heltal används exponenterna 2, 1 och 0 – inte 3, 2 och 1.

342_{10}=3\cdot10^2+4\cdot10^1+2\cdot10^0

Samma siffror, olika värden

Exempel

Vilket värde har $203_5$ i bas tio? Läs platsvärdena som tjugofemmor, femmor och ental.

Två tjugofemmor ger $2\cdot5^2=50$ .
Noll femmor ger $0\cdot5^1=0$ .
Tre ental ger $3\cdot5^0=3$ .

203_5=50+0+3=53_{10}

I $203_{10}$ står tvåan i stället för två hundratal. Siffrorna ser likadana ut, men basen ger dem olika platsvärden. Basen är därför en del av informationen.

Nollan håller platsen

Förklaring

1010_2=1\cdot8+0\cdot4+1\cdot2+0\cdot1=10_{10}

Nollorna visar att inga fyror och inga ental behövs. Om du stryker en nolla inne i talet eller längst till höger kan andra siffror hamna på nya positioner.

110_2=1\cdot4+1\cdot2+0\cdot1=6_{10}

En extra nolla längst till vänster ändrar däremot inte värdet:

01010_2=0\cdot16+1010_2=10_{10}

Positionerna räknas från höger. En inledande nolla flyttar därför inte de andra siffrorna till nya platsvärden.

Fyra lampor visar ett tal

Exempel

Tänk dig en liten display med fyra lampor. Tänd betyder 1 och släckt betyder 0. Lamporna har från vänster värdena 8, 4, 2 och 1. Om bara första och sista lampan lyser visas:

1001_2=8+1=9_{10}

Om alla lampor lyser får du $1111_2=8+4+2+1=15_{10}$ . Fyra binära positioner räcker alltså till heltalen 0 till 15. För 16 behövs en femte position: $10000_2$ .

Det är samma grundidé som gör bas två användbar när information representeras med två tillstånd. Det är lampans position tillsammans med dess tillstånd som bestämmer bidraget till talet.

Din tur: siffra eller platsvärde?

Exempel

Är $24_5$ och $25_5$ giltiga skrivsätt? Vilket värde bidrar tvåan med i $234_5$ ? Tänk efter innan du läser svaren.

$24_5$ är giltigt: både 2 och 4 är tillåtna siffror i bas fem.
$25_5$ är inte giltigt: en siffra måste vara mindre än basen. Efter $24_5$ kommer $30_5$ .
Tvåan i $234_5$ bidrar med $2\cdot5^2=50$ . Dess siffervärde är 2, men positionens värde är 25.

Kontrollera alltid två saker: är varje siffra tillåten, och har du räknat positionerna från höger med start på exponenten noll?

Testa dig själv

Vad betyder siffrorna?

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

Vilket är ett giltigt skrivsätt i bas fem?

\displaystyle 250_5

\displaystyle 243_5

\displaystyle 325_5

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…