Träddiagram

Kasta ett rättvist mynt två gånger. Vi antar att kasten är oberoende: det första kastet påverkar inte det andra. K betyder krona och S betyder klave. Börja vid Start och följ en gren för varje kast.

Första förgreningen visar första kastet. Från både K och S finns två nya grenar för det andra kastet. Sluten är de fyra möjliga följderna KK, KS, SK och SS.

Sannolikheterna på grenarna från samma förgrening ska alltid ge summan 1. Här är det $\frac12+\frac12=1$ vid varje förgrening.

Hur stor är sannolikheten för två kronor? Följ vägen K och sedan K. Först behövs krona, och därefter behövs krona igen.

Tänk ”hälften av hälften”. Av många tvåkastförsök väntas ungefär hälften börja med krona. Av just dessa väntas ungefär hälften också sluta med krona.

Samma metod fungerar längs en längre väg. Tre oberoende kast med ett rättvist mynt ger:

Multiplicera alltså för att alla stegen på den valda vägen ska inträffa. Att addera en halv och en halv skulle felaktigt ge 100 % för två kronor.

Nu vill vi ha exakt en krona på två kast. Den kan komma först eller sist. Två av trädets vägar fungerar.

Vi får addera eftersom KS och SK är skilda vägar. Ett och samma tvåkastförsök kan inte bli båda. Då räknar vi inget utfall två gånger.

Kontrollera hela trädet: de fyra vägarnas sannolikheter ska tillsammans bli 1. Då har vi fått med alla möjligheter.

Du kastar en rättvis sexsidig tärning och ett rättvist mynt. Kasten antas vara oberoende. Vad är sannolikheten för en sexa och krona?

Oberoende betyder inte att stegen måste ha samma sannolikhet. Det betyder att utfallet i ett steg inte ändrar sannolikheten i det andra.

Du kan också kontrollera genom att räkna kombinationer. Varje tärningssida kan kombineras med två myntsidor, så det finns $6\cdot2=12$ lika sannolika kombinationer. Bara en är sexa och krona.

En rättvis sexsidig tärning kastas tre gånger, oberoende av varandra. ”Minst en sexa” betyder en, två eller tre sexor. I stället för att räkna alla de vägarna kan vi räkna motsatsen: ingen sexa.

Komplementmetoden fungerar eftersom ”ingen sexa” och ”minst en sexa” täcker alla möjligheter utan att överlappa.

Se upp: $3\cdot\frac16$ ger inte rätt svar. Ett försök med två sexor skulle då räknas två gånger. Multiplicera längs en väg; addera bara vägar som inte överlappar.

Kasta ett rättvist mynt tre gånger, oberoende av varandra. Skriv först alla följder som ger exakt två kronor. Kom ihåg: K betyder krona och S betyder klave.

Kontroll: de tre rätta vägarna är KKS, KSK och SKK. Varje väg har sannolikheten $\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18$.

KKK ska inte vara med: det är tre kronor. Läs skillnaden mellan ”exakt två” och ”minst två” innan du räknar.

Bra arbetsordning: skriv villkoret → markera rätta vägar → multiplicera på varje väg → addera vägarnas sannolikheter.