Beroende eller oberoende?

I en påse finns 3 röda och 2 blå kulor. Du drar utan att titta, och varje kula har samma chans att bli dragen. Från början är sannolikheten för rött $\frac35$. Men hur ser påsen ut efter första draget?

Händelser är oberoende när information om den ena inte ändrar sannolikheten för den andra. De är beroende när sannolikheten ändras. Fråga alltså vad första utfallet faktiskt påverkar.

Dra två gånger ur påsen med 3 röda och 2 blå kulor. Lägg tillbaka och blanda mellan dragen. Båda gångerna är sannolikheten för rött $\frac35$.

Efter en blå kula är sannolikheten för rött också $\frac35$. Återläggningen och blandningen gör att vi börjar om med samma förutsättningar.

Om du i stället vill ha blått båda gångerna blir det $\frac25\cdot\frac25=\frac4{25}$. De fyra färgföljderna RR, RB, BR och BB är alltså inte lika sannolika. Fyra möjliga följder betyder inte automatiskt en fjärdedel var.

Börja åter med 3 röda och 2 blå kulor. Den här gången läggs den första kulan inte tillbaka. Tabellen visar vad som gäller inför det andra draget.

Efter en röd kula finns 2 röda av totalt 4 kulor kvar. Sannolikheten för två röda blir därför:

Vi multiplicerar fortfarande längs vägen, trots att dragen är beroende. Skillnaden är att sannolikheten för nästa gren måste passa just det första utfallet.

Jämför 30 % utan återläggning med 36 % med återläggning. När en röd kula försvinner blir det svårare att få rött igen.

Vi drar två kulor utan återläggning från samma startpåse: 3 röda och 2 blå. För att få en av varje färg fungerar både röd–blå och blå–röd.

Andra bråket är olika på de två vägarna, eftersom olika färger har tagits bort. Att bara räkna röd–blå skulle missa halva den sökta sannolikheten.

Ett sätt att kontrollera: tänk kulorna numrerade. Det finns $5\cdot4=20$ lika sannolika ordnade par utan återläggning. Av dem har $3\cdot2+2\cdot3=12$ olika färg. $\frac{12}{20}=\frac35$ stämmer!

Börja med 3 röda och 2 blå igen och gör två drag. Motsatsen till ”minst en röd” är ”båda blå”. Komplementmetoden fungerar även när dragen är beroende.

Utan återläggning finns bara 1 blå av 4 kulor kvar efter den första blå:

Med återläggning och blandning är sannolikheten för blått oförändrad inför nästa drag:

För samma startpåse ger de två reglerna alltså olika svar. Skriv alltid om dragningen sker med eller utan återläggning.

Påsen hade 3 röda och 2 blå kulor. Du har redan dragit en blå och inte lagt tillbaka den. Vad är nu sannolikheten att nästa kula är röd?

Det finns 3 röda av 4 kulor kvar. Vi räknar bara nästa steg, eftersom den första färgen redan är känd. Sannolikheten före något drag för hela vägen blå–röd var däremot $\frac25\cdot\frac34=\frac3{10}$. Det är två olika frågor.

Bonus: efter fem kronor i rad med ett rättvist mynt, måste nästa kast bli klave? Nej. Vid oberoende kast är sannolikheten för klave fortfarande $\frac12$. Myntet har inget minne, och slumpen lovar ingen snabb utjämning.

Kom ihåg: ta hänsyn till det som redan hänt, uppdatera grenarnas sannolikheter och skilj mellan ett nästa steg och en hel väg.