Lektion 1 av 1

Implikation och ekvivalens

Målet med lektionen

Läsa implikationspilen och ekvivalenspilen och avgöra om ett påstående gäller åt ett eller båda hållen.

6 avsnittCirka 4 min läsning2 exempel1 lekplats

Sant åt ena hållet

Förklaring

Påstående: ”Om du bor i Umeå, så bor du i Sverige.” Helt sant. Vänd nu på det: ”Om du bor i Sverige, så bor du i Umeå.” Fråga någon i Malmö vad de tycker om det.

Ett påstående kan alltså vara sant åt ena hållet men falskt åt det andra. I matte visar du riktningen med en pil. Ett påstående med en sådan pil kallas en implikation:

\text{du bor i Umeå}\;\Rightarrow\;\text{du bor i Sverige}

Bilden visar varför. Alla som bor i Umeå finns inuti den stora cirkeln, så pilen håller. Men Malmö ligger i den stora cirkeln utan att vara i den lilla. Därför håller pilen inte åt andra hållet.

Tre pilar att kunna

Förklaring

Bokstäverna $P$ och $Q$ står för påståenden, alltså meningar som är antingen sanna eller falska. Till exempel ${x=4}$ eller ”triangeln är rätvinklig”.

Pil	Läses	Betyder
${P\Rightarrow Q}$	P medför Q, eller: om P så Q	Är P sant, så är Q också sant.
${P\Leftarrow Q}$	P följer av Q	Samma pil vänd åt andra hållet: Q medför P.
${P\Leftrightarrow Q}$	P är ekvivalent med Q, eller: P om och endast om Q	Pilen gäller åt båda hållen.

En ekvivalens är alltså två implikationer på en gång:

P\Leftrightarrow Q\quad\text{betyder}\quad P\Rightarrow Q\ \text{ och }\ Q\Rightarrow P

Pilen ${Q\Rightarrow P}$ kallas omvändningen till ${P\Rightarrow Q}$ . Den måste alltid kontrolleras för sig.

Motexempeljakten

Prova själv

Laddar aktiviteten…

Exempel: testa båda hållen

Exempel

Metod: kolla ett håll i taget. Pilen åt höger, ${\Rightarrow}$ , betyder att det vänstra påståendet ska ge det högra. Pilen åt vänster, ${\Leftarrow}$ , betyder tvärtom. Hittar du ett enda fall där en pil inte stämmer, ett motexempel, stryker du den pilen.

1. ${x=3}$ och ${x^2=9}$

Åt höger: om ${x=3}$ är ${x^2=3^2=9}$ . Stämmer.
Åt vänster: ${x=-3}$ ger också ${x^2=9}$ , men ${-3\ne 3}$ . Motexempel!

x=3\;\Rightarrow\;x^2=9

2. ${x+4=10}$ och ${x=6}$

Åt höger: subtrahera $4$ från båda leden.
Åt vänster: addera $4$ till båda leden.

x+4=10\;\Leftrightarrow\;x=6

3. ”Talet är jämnt” och ”talet slutar på 4”

Åt höger: $12$ är jämnt men slutar på $2$ . Motexempel!
Åt vänster: ett tal som slutar på $4$ är några tiotal plus $4$ . Tiotal är jämna och $4$ är jämnt, så talet är alltid jämnt.

\text{talet är jämnt}\;\Leftarrow\;\text{talet slutar på }4

Så används pilarna

Förklaring

När du löser en ekvation gör du samma sak med båda leden. Adderar eller subtraherar du samma tal, eller multiplicerar eller dividerar du med samma tal som inte är $0$ , kan du alltid backa. Då är stegen ekvivalenser:

3x-5=16\;\Leftrightarrow\;3x=21\;\Leftrightarrow\;x=7

Därför är ${x=7}$ precis rätt svar. Inga lösningar har tappats och inga falska har smugit in.

Pilar står mellan påståenden, inte mellan uträkningar. Skriv ${2\cdot 8+3=19}$ , inte ${2\cdot 8+3\Rightarrow 19}$ .
Alla steg går inte att backa. Att kvadrera båda leden ger bara ${\Rightarrow}$ , som i ${x=3\Rightarrow x^2=9}$ .
”Alla kvadrater är rektanglar” är en implikation: ${\text{kvadrat}\Rightarrow\text{rektangel}}$ .
Definitioner gäller åt båda hållen: $\text{liksidig triangel}\Leftrightarrow\text{tre lika långa sidor}$ .
Ett påstående om ”alla” är falskt så fort du hittar ett enda motexempel.

Vanligt misstag: vända på pilen

Förklaring

Fel: ”Om det regnar blir gatan blöt. Gatan är blöt, alltså har det regnat.”

Gatan kan ju vara blöt av en sopmaskin eller smält snö. Slutsatsen bygger på omvändningen, och den har ingen visat. Samma fälla finns i matte. Implikationen stämmer, men inte omvändningen:

x>5\;\Rightarrow\;x^2>25

x^2>25\;\not\Rightarrow\;x>5

Motexempel: ${x=-6}$ ger ${x^2=36}$ , och ${36>25}$ . Men ${-6}$ är inte större än $5$ .

Rätt: Kontrollera omvändningen för sig. Ibland håller den. Pythagoras sats gäller till exempel åt båda hållen. En triangel med sidorna $3$ , $4$ och $5$ är alltså rätvinklig, eftersom ${3^2+4^2=5^2}$ .

Din tur: vilken pil?

Exempel

Sätt ut ${\Rightarrow}$ , ${\Leftarrow}$ eller ${\Leftrightarrow}$ mellan påståendena. Lös själv först, facit står under.

${x=5}$ och ${2x=10}$
${x>3}$ och ${x>5}$
”Talet är delbart med 4” och ”talet är jämnt”
”Triangeln är rätvinklig” och ”två av triangelns vinklar har summan 90°”

Facit

${x=5\Leftrightarrow 2x=10}$ . Multiplicera eller dividera båda leden med $2$ .
${x>3\Leftarrow x>5}$ . Ett tal över $5$ är alltid över $3$ , men ${x=4}$ är ett motexempel åt andra hållet.
${\text{delbart med }4\Rightarrow\text{jämnt}}$ . Ett tal som är $4$ gånger ett heltal är också $2$ gånger ett heltal. Motexempel åt andra hållet: $6$ är jämnt men inte delbart med $4$ .
$\text{rätvinklig}\Leftrightarrow\text{två vinklar har summan }90^\circ$ . Vinkelsumman är $180^\circ$ . Är en vinkel $90^\circ$ har de två andra summan $90^\circ$ , och tvärtom.

Testa dig själv

Testa dig: Logik och bevis

Fråga 1 av 2 · Välj ett svar och undersök varför.

Det här är sant: $\text{det är söndag}\Rightarrow\text{butiken är stängd}$ . Vilken slutsats är korrekt?

Butiken är stängd, alltså är det söndag.Det är söndag, alltså är butiken stängd.Det är inte söndag, alltså är butiken öppen.

Välj ett svar först.

Laddar frågorna…

Implikation och ekvivalens

Sant åt ena hållet

Tre pilar att kunna

Motexempeljakten

Exempel: testa båda hållen

Så används pilarna

Vanligt misstag: vända på pilen

Din tur: vilken pil?

Testa dig: Logik och bevis

Det här är sant: $\text{det är söndag}\Rightarrow\text{butiken är stängd}$ . Vilken slutsats är korrekt?

Testa dig: Logik och bevis

Det här är sant: $\text{det är söndag}\Rightarrow\text{butiken är stängd}$ . Vilken slutsats är korrekt?

Motexempeljakten

Påstående 1: Vilken pil gäller mellan P och Q?

P sant · Q sant

P sant · Q falskt

P falskt · Q sant

P falskt · Q falskt

Påstående 1: Vilken pil gäller mellan P och Q?

P sant · Q sant

P sant · Q falskt

P falskt · Q sant

P falskt · Q falskt

Sant åt ena hållet

Tre pilar att kunna

Motexempeljakten

Exempel: testa båda hållen

Så används pilarna

Vanligt misstag: vända på pilen

Din tur: vilken pil?

Testa dig: Logik och bevis

Det här är sant: det a¨r so¨ndag⇒butiken a¨r sta¨ngd\text{det är söndag}\Rightarrow\text{butiken är stängd}det a¨r so¨ndag⇒butiken a¨r sta¨ngd. Vilken slutsats är korrekt?

Testa dig: Logik och bevis

Det här är sant: det a¨r so¨ndag⇒butiken a¨r sta¨ngd\text{det är söndag}\Rightarrow\text{butiken är stängd}det a¨r so¨ndag⇒butiken a¨r sta¨ngd. Vilken slutsats är korrekt?

Motexempeljakten

Påstående 1: Vilken pil gäller mellan P och Q?

P sant · Q sant

P sant · Q falskt

P falskt · Q sant

P falskt · Q falskt

Påstående 1: Vilken pil gäller mellan P och Q?

P sant · Q sant

P sant · Q falskt

P falskt · Q sant

P falskt · Q falskt

Det här är sant: $\text{det är söndag}\Rightarrow\text{butiken är stängd}$ . Vilken slutsats är korrekt?

Det här är sant: $\text{det är söndag}\Rightarrow\text{butiken är stängd}$ . Vilken slutsats är korrekt?